随机序列

Problem

给出两个长度均为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$，其中 $a_i$ 中有一些位置是 。你需要将 $a$ 中若干个 $0$ 修改成其他的数，要求最终的数组 a 满足：

1. $\{a_i\}\{b_i\}$ 中，所有数都是 $[0,x]$ 之间的整数;

2. 所有正整数在 $\{a_i\}$ 和 $\{b_i\}$ 中的出现次数加起来不超过 $1$;

在此基础上，设 $p$ 为 “随机两个 $[1,n]$ 之间的整数 $i,j$” 后，“$a_i>b_j$” 这一事件发生的概率，要求选择一种修改 $\{a_i\}$ 的方式，使得 $|p-0.5|$ 最小。

要求返回使得 $|p-0.5|$ 最小的 $p$。如果存在多个 $p$，输出较小的那个。

$n\le 50,x\le {10}^9$

Input

第一行一个正整数 $n$，代表序列的长度。

第二行个整数，代表数组 $a$。

第三行个整数，代表数组 $b$。

第四行一个正整数，代表 $x$。

Output

输出仅一行，一个小数 $p$。

精度误差在 ${10}^{-6}$ 以内。

Sample

Input 1

4
0 2 7 0
6 3 8 10
12

Output 1

0.4375

Solution

由于 $a$ 中每一个元素会对 $b$ 中元素进行比较，所以改变 $b$ 中元素的顺序不影响答案。将 $b$ 数组排序，这样可以快速地知道对于 $a$ 中每一个非 $0$ 元素，$b$ 中有多少元素大于它。

同时，$b$ 数组也将区间 $[0,x]$ 分成若干个连续的段，每段中的数对答案的贡献是相同的。此时原问题转化成了一个多重背包问题，每种物品有相应的贡献和数量，最终计算概率求出 $p$ 值。

可以采用二进制优化，但我选择使用 $bitset$ 来减小空间。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<iomanip>

using namespace std;

const int kmax = 55;

int n, k, a[kmax], b[kmax];
int w[kmax], c;
int res = -1e9;
bitset<kmax * kmax> f[kmax];

int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		k += !a[i]; // 计算有多少个0
	}
	for(int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		cin >> b[i];
	}
	b[n + 1]++; // 右闭区间转开区间
	sort(b + 1, b + n + 1); // 排序
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		w[i] = min(b[i + 1], b[n + 1]) - b[i] - 1; // 求区间
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if(a[j] > b[i]) c++; // 计算原先有多少对
			if(b[i] < a[j] && a[j] < b[i + 1]) w[i]--; // a中原先的数不能选
		}
	}
	for(int i = 0; i <= k; i++) {
		f[i][c] = 1; // 初始化
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) { // 多重背包
		for(int j = 1; j <= w[i] && j <= k; j++) {
			for(int l = k - 1; l >= 0; l--) {
				f[l + 1] |= f[l] << i; // bitset 转移
			}
		}
	}
	for(int i = 0; i <= n * n; i++) {
		if(!f[k][i]) continue; // 该状态无法实现
		if(abs(n * n - 2 * res) <= abs(n * n - 2 * i)) continue; // 不够优
		res = i;
	}
	cout << fixed << setprecision(9) << 1.0 * res / n / n << '\n';
	return 0;
}