CF1657E Star MST

Problem

有一个 $n$ 个点的无向完全图，边权 $e\in [1,m]$ ，已知该图的最小生成树的权值与所有与 $1$ 号点相连的边的边权和相同，求有多少种构图方式，答案对 $998244353$ 取模。

$2\le n\le 250,1\le m\le 250$ 。

Input

一行两个整数 $n$，$k$。

Output

一行一个整数表示答案。

Sample

Input 1

3 2

Output 1

5

Input 2

4 4

Output 2

571

Input 3

6 9

Output 3

310640163

Input 4

42 13

Output 4

136246935

Solution

比较难想的DP题。

考虑定义 $f_{i,j}$ 表示当前给与 $1$ 相连的 $j$ 条边分配了权值，每条边权值在 $[1,i]$ 之间的方案数。

由题意可以得到，对于一条边 $(x,y)$，若 $x\ne 1$ 且 $y\ne 1$，则该边的权值 $W_{x,y}\ge W_{1,x}$ 且 $W_{x,y}\ge W_{1,y}$。

$n，k$ 都很小，可以考虑两层循环枚举状态，一层循环进行转移。

假设我们已知为 $f_{i-1,j}$ 的答案，从剩下的 $n-1-j$ 条边中选出 $k$ 条边赋值为 $i$，容易可以得到转移：

$f_{i,j+k}=f_{i,j+k}+f_{i-1,j}\ast c_{n-j-1,k}\ast Pow(m-i+1,j\ast k+k\ast (k-1)/2)$

其中 $c_{n-j-1,k}$ 为从 $n-j-1$ 条边中选出 $k$ 条边的方案数。（组合数）

加入的这 $k$ 条边之间连出的 $k\ast (k-1)/2$ 条边以及这 $k$ 条边与前面 $j$ 条边之间连出的 $j\times k$ 条边的权值都必须在 $[i,m]$ 之间，每一条边都有 $m-i+1$ 种选择，还需乘上这部分的贡献。

最后 $f_{m,n-1}$ 即为答案，权值不超过 $i$，分配了 $n-1$ 条边。

代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int kmax = 255;
const int Mod = 998244353;

int n, m;
long long c[kmax][kmax];
long long f[kmax][kmax];

long long Pow(long long x, long long y) {
  long long r = 1;
  for (; y; y >>= 1) {
    if (y & 1) r = r * x % Mod;
    x = x * x % Mod;
  }
  return r;
}

void Init() { // 预处理组合数
  c[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i < kmax; i++) {
    c[i][0] = 1;
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % Mod;
    }
  }
}

int main() {
  Init();
  cin >> n >> m;
  f[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      for (int k = 0; k < n - j; k++) {
        f[i][j + k] = (f[i][j + k] + f[i - 1][j] * c[n - j - 1][k] % Mod * Pow(m - i + 1, j * k + k * (k - 1) / 2) % Mod) % Mod; // 直接转移，记得取模
      }
    }
  }
  cout << f[m][n - 1];
  return 0;
}