比赛胜率

Problem

有 $n$ 天，每天有 $a_i$ 场比赛。

如果截止到第 $i$ 天的胜率小于第 $i-1$ 天的胜率，乐乐就会在第天心情变得更好；否则，他的心情会变得更糟。其中，第 $i$ 天的胜率指的是，当 $i=0$ 时为 $0$，否则指的是第 $i$ 天之前玩游戏赢的次数总和除以第 $i$ 天之前玩游戏的次数总和所得的值。

已知这 $n$ 天，乐乐总共赢了 $k$ 次。求乐乐最多能开心多少天。

$60\mathrm{\%}$ 的数据：$n,a_i\le 100$

$100\mathrm{\%}$ 的数据：$n\le 2000,1\le a_i\le 5\times {10}^5,0\le k\le a_1+a_2+...+a_n$

Input

第一行两个整数 $n$ 和 $k$。

接下来一行 $n$ 个数，第 $i$ 个数表示 $a_i$。

Output

一行一个整数，表示乐乐最多能开心几天。

Sample

Input 1

5 7
2
3
7
4
9

Output 1

3

Input 2

3 5
1
2
2

Output 2

1

Input 3

2 4
2
10

Output 3

1

Input 4

10 12
2
8
3
5
10
5
2
9
19
22

Output 4

7

Solution

考虑朴素做法。

我们设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 天赢了 $j$ 场比赛最多的开心次数，记 $s_i$ 表示前 $i$ 天比赛总场数。接下来我们分情况讨论：

1. 第 i 天不开心，那么 $f_{i,j}=max{f}_{i-1,p}$，其中 $(0\le p\le j)$。
2. 第 i 天开心，那么 $f_{i,j}=max{f}_{i-1,p}$，其中 $p$ 满足 ${\displaystyle \frac{p}{s_{i-1}}}<{\displaystyle \frac{j}{s_i}}$，即 $p<{\displaystyle \frac{j\times s_{i-1}}{s_i}}$。

观察到两种情况均为前缀 $max$，并且第 $i$ 天的状态只与第 $i-1$ 天有关，因此我们在求完每一天的答案后重新求前缀 $max$，就可用来求解下一天的答案了。

注意第二种情况是 $<$，所以求 $p$ 时先要减去一个极小数再将其下取整。

最后输出 $f_{n,k}$ 即可，时间复杂度 $O(nk)$。

代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int kmax = 105;
const int kmaxM = 1e4 + 3;

int n, k, a[kmax], s[kmax];
int p[kmax];
int f[kmax][kmaxM], g[kmaxM];
int res;

int main() {
  cin >> n >> k;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
    s[i] = a[i] + s[i - 1];
  }
  if (k == s[n]) {
    cout << 1;
    return 0;
  }
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    f[1][i] = g[i] = 1;
  }
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= k; j++) {
      int l = floor(1.0 * j * s[i - 1] / s[i] - 0.01);
      f[i][j] = max(f[i][j], g[j]);
      f[i][j] = max(f[i][j], g[l] + 1);
    }
    for (int j = 1; j <= k; j++) {
      g[j] = max(g[j - 1], f[i][j]);
    }
  }
  cout << f[n][k] << '\n';
  return 0;
}

接下来考虑满分做法。

我们观察到整个状态上一共有三个属性，天数、赢比赛的次数和最多的开心次数，朴素算法之所以慢，是因为 $a_i$ 较大，从而导致 $k$ 很大。

但如果我们换种角度看，将天数和开心次数记为状态，赢的次数记为值，就发现无论是时间还是空间都可以跑过了。

代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int kmax = 2005;

int n, k, a[kmax], s[kmax];
long long f[kmax];
int res;

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        s[i] = a[i] + s[i - 1];
    }
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = 1e9;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j; j--) {
            long long l = 1ll * f[j - 1] * a[i] / s[i - 1] + 1;
            if (l > a[i])
                continue;
            f[j] = min(f[j], f[j - 1] + l);
        }
    }
    for (int i = n; ~i; i--) {
        if (f[i] <= k) {
            cout << i;
            break;
        }
    }
    return 0;
}