随笔分类 - 一些干货
摘要：李超线段树 李超线段树是一种求函数定点最值的线段树，思路高妙，用处也很广。 以模板题为例。 P4097 [HEOI2013] Segment 有 \(n\) 个操作，操作分两种。 在平面上加入一条线段，两端端点为 \((x_0,y_0)\) 和 \((x_1,y_1)\)，第 \(i\) 条被插入的
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摘要：群论 群的基本概念 定义：给定一个集合 \(G\) 和关于该集合的一种二元运算 \(*\)。我们称 \(G\) 在 \(*\) 的运算下是一个群（\(*\) 在表示的时候可以省略），当且仅当满足以下条件。 若有 \(a,b\in G\)，则一定有 \((a*b)\in G\)； 若有 \(a,b,c
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摘要：快速数论变换 | NTT 初学 前置 FFT 原根 阶：称满足同余方程 \(a^x\equiv 1\mod m\) 的最小正整数解 \(x\) 为 \(a\) 的模 \(m\) 的阶，记为 \(Ord_ma\)。 观察到本质就是最短循环节，同时该同余方程类似于欧拉定理： \[a^{\varphi (
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摘要：FFT 前置 多项式：形如 \(A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\) 的式子，其中 \(n\) 表示项数。 多项式乘法： \[\begin{aligned}C(x) & = A(x)\cdot B(x) \\ & = \sum\limits_{i=0}^{2n-2
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摘要：生成函数初学 定义 生成函数：指无穷级数与函数的对应，其中无穷级数表示一个无限的数列的和。 我们定义一个生成函数 \(f(x)\) 是收敛的，当且仅当 \(f(x)\) 随着 \(x\) 的定向变化趋向于一个确定的极限值。如令 \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)，当 \(x\rightarr
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摘要：Z 函数 / 扩展 KMP 前置 \(KMP\)：\(O(n)\) 求解字符串匹配的算法。维护前缀数组 \(p_i\) 表示字符串 \(s\) 以 \(i\) 结尾的最长公共前后缀的长度； \(border\): 对于字符串 \(s\)，如果存在一个子串 \(t\) 满足 \(t\) 既是 \(s\
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摘要：01分数规划属于二分法的一个应用，主要用于解决有关 “**最优比率**” 的问题，如最优比率背包、最优比率生成树等。 题目大致是说，给定两个长度均为 $n$ 的数组 $a、b$，要从中选出 $k$ 组 $a$ 和 $b$，求 $max\dfrac{\sum_{i=1}^na_is_i}{\sum_{
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摘要：线性基是一种擅长处理异或问题的数据结构。 可以用来： 1. 查询一个数是否可以被一堆数异或出来。 2. 查询一堆数可以异或出来的最值. 3. 查询一堆数可以异或出来的第 $k$ 大值。 以上三点均可以在 $log$ 级别的复杂度下稳定实现。 线性基本质上是一个通过对二进制的判断来从原集合中取出一些数
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摘要：主要来讲一讲树上的一些有关排列组合计数的问题。 树上拓扑序 给定一棵包含 $n$ 个节点，以 $1$ 为根的树。求树上拓扑序个数，即求有多少种排列方式，满足每个节点的父亲排在他前面。 $1 \le n \le 10^6$ 显然，如果没有任何限制，整棵树的方案数为 $n!$。 对于一棵以 $x$ 为节
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摘要：一种用来处理序列上区间询问问题的算法。 来看一下最经典的莫队题。 区间不同数 给定长为 $n$ 的序列 $a$, 有 $m$ 组询问。 每组询问给定一个区间 $[l, r]$, 求区间内有多少种不同的数。 $n, m\le 10^5$，$a_i \in [0,10^6]$ 我们可以观察到如果我们已知
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摘要：二分的进阶版。 先看一个经典问题。 区间第K大 给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 和 $m$ 个询问. 每次询问给定一个区间 $[l,r]$，输出该区间第 $k$ 大的数。 $n,m \le 30000，a_i \in [0, 2^{31})$ 对于单次询问，二分答案即可。 如何处理多组询问呢
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摘要：其本质是对分治的进一步理解。 先来看一个问题。 二维偏序 给定 $n$ 个二元组，第 $i$ 个二元组 $p_i = (x_i, y_i)$， 求顺序对个数。 即求满足 $x_i < x_j$ 且 $y_i < y_j$ 的 $(i, j)$ 对数 很容易想到以 $x$ 为第一关键字从小到大排序，$
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摘要：可持久化权值线段树 · 又叫主席树 · 本质就是多棵线段树 · 可持久化表示可以维护历史任一版本的数据 · 例题 $\quad$ · Q1：给定 $n$ 个整数构成的序列 ，需要支持两种操作 $\quad\quad$ · 在某个历史版本上修改某一个位置上的值 $\quad\quad$ · 访问某个历
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