1190：生日蛋糕，深搜逻辑思路、枚举、剪枝
原题：http://bailian.openjudge.cn/practice/1190/
描述
7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）
输入
有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。
输出
仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。
样例输入
100 2
样例输出
68
解法
思路：这个题比较难想（至少对我这种菜鸟），整体思路是深搜+枚举，枚举每一层可能的高度和半径，搜索的范围是底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度。从底层往上搭蛋糕，半径和高度都是从大到小试。关键在于剪枝。
- 最优性剪枝：超过目前最优表面积
- 可行性剪枝：再往上搭的时候，高度或者半径已经无法安排
- 可行性剪枝：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积（最小的）一定会超过还缺的体积，说明前面搭多了
- 可行性剪枝：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，说明前面搭少了
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #include <algorithm> 6 #define INF 1<<30 7 using namespace std; 8 int N, M; 9 int minArea;//最优表面积 10 int area;//正在搭建中的蛋糕表面积 11 int minV[30];//minV[n]表示n层蛋糕最少的体积 12 int minA[30];//minA[n]表示n层蛋糕最少侧表面积 13 int MaxVforNRH(int n, int r, int h) { 14 //求在n层蛋糕，底层最大半径为r、最高高度为h的情况下，能凑出来的最大体积 15 int v = 0; 16 for (int i = 0; i < n; i++) 17 v += (r - i)*(r - i)*(h - i); 18 return v; 19 } 20 void dfs(int v, int n, int r, int h) 21 {//用n层去凑体积v，最底层半径不超过r，高度不超过h，求出最小表面积放入minArea 22 if (n == 0) { 23 if (v) 24 return; 25 else { 26 minArea = min(area, minArea); 27 return; 28 } 29 } 30 if (v <= 0) 31 return; 32 if (minV[n] > v)//还没搭的那些层的体积一定会超过还缺的体积，说明前面搭多了 33 return; 34 if (area + minA[n] >= minArea)//最优性剪枝 35 return; 36 if (h < n || r < n)//高度或者半径已经无法安排 37 return; 38 if (MaxVforNRH(n, r, h) < v)//搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，说明前面搭少了 39 return; 40 for (int rr = r; rr >= n; rr--) { 41 if (n == M)//底面积 42 area = rr * rr; 43 for (int hh = h; hh >= n; hh--) { 44 area += 2 * rr*hh; 45 dfs(v - rr * rr*hh, n - 1, rr - 1, hh - 1); 46 area -= 2 * rr*hh;//回溯 47 } 48 } 49 } 50 int main() 51 { 52 cin >> N >> M; 53 minV[0] = 0; 54 minA[0] = 0; 55 for (int i = 1; i <= M; i++) { 56 minV[i] = minV[i - 1] + i * i*i; 57 minA[i] = minA[i - 1] + 2 * i*i; 58 } 59 if (minV[M] > N) 60 cout << 0 << endl; 61 else { 62 //最底层体积不超过N-minV[M-1] 63 int maxH = (N - minV[M - 1]) / (M*M) + 1;//底层最大高度 64 int maxR = sqrt(double(N - minV[M - 1]) / M) + 1;//底层高度至少M 65 area = 0; 66 minArea = INF; 67 dfs(N, M, maxR, maxH); 68 if (minArea == INF) 69 cout << 0 << endl; 70 else 71 cout << minArea << endl; 72 } 73 return 0; 74 }
