1048 游戏 sg函数变式 博弈论

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/26656/1048
来源：牛客网

题目描述

小N和小O在玩游戏。他们面前放了n堆石子，第i堆石子一开始有ci颗石头。他们轮流从某堆石子中取石子，不能不取。最后无法操作的人就输了这个游戏。但他们觉得这样玩太无聊了，更新了一下规则。具体是这样的：对于一堆有恰好m颗石子的石头堆，假如一个人要从这堆石子中取石子，设他要取石子数为d，那么d必须是m的约数。最后还是无法操作者输。
现在小N先手。他想知道他第一步有多少种不同的必胜策略。一个策略指的是，从哪堆石子中，取走多少颗石子。只要取的那一堆不同，或取的数目不同，都算不同的策略。

输入描述:

第一行一个整数n。
接下来一行n个整数，分别代表每堆石子的石子数目。
数据保证输入的所有数字都不超过10
5 
，均大于等于1，且为整数。

输出描述:

一行一个整数代表小$N$第一步必胜策略的数量。
示例1

输入

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10
47 18 9 36 10 1 13 19 29 1

输出

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7

 

分析

标准的集合类nim游戏问题。

普通的集合类nim游戏：有几种取法，在n堆石子里取，问最终结果。将每一堆石子的sg值算出来就是答案。

这题：每堆石子可以取自己的因子的数量的石子，从n堆取，问最终结果。要将每一堆石子的sg值算出来就很复杂，需要用到之前的状态，而且还要求出有多少种不同取法。

问题1：算出每堆石子的sg值

 

由于石子数目小于一万，所以可以从小到大dp，预处理出所有石子的sg值，当求后面的石子的sg值的时候，前面所有石子的sg值已经求过了

设f[i] 表示 i 个石子的sg值

状态转移：设i 的因子d，f[i] = mex(f[i-d1],f[i-d2],f[i-d3]....)

 

问题2：通过算出的sg值，判断第一步有多少取法

 

假设已经求出了所有sg值的异或和 sum

要获得胜利，就要让对方变成必败状态，即sg值为0的状态。

让sum 异或 每堆石子数目。消去当前堆石子的总数的影响。

遍历当前堆石子的所有因子，如果异或这个因子能够使sum 值为0，即为必败状态。方案数 + 1

 


//-------------------------代码----------------------------

//#define int ll
const int mod = 1e9 +7,md = 1e9+6,N = 1e5+10;
int a[N];
int sg[N];
vector<int>G[N];
int vis[N];

void solve()
{
    int cnt = 0;
    for(int i = 1;i<N;i++) {
        cnt ++ ;
        int k = sqrt(i);
        for(int j = 1;j<=k;j++) {
            if(i % j == 0) {
                vis[sg[i-j]]=cnt;
                if(j*j!=i) vis[sg[i-i/j]]=cnt;
            }
        }
        for(int j = 0;j<=N-10;j++)
            if(vis[j] != cnt) 
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
    }
    int n;cin>>n;
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        cin>>a[i],sum ^= sg[a[i]];
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        sum ^= sg[a[i]];
        int k = sqrt(a[i]);
        for(int j = 1;j<=k;j++) {
            if(a[i] % j == 0) {
                if((sg[a[i] - j]^sum) == 0) {ans ++ ;}
                if(j * j != a[i] && ( sg[a[i] - a[i] / j] ^ sum) == 0) ans ++ ;
            }
        }
        sum ^= sg[a[i]];
    }
    cout<<ans<<endl;
}

signed main(){
    clapping();TLE;

//    int t;cin>>t;while(t -- )
    solve();
//    {solve(); }
    return 0;
}

/*样例区


*/

//------------------------------------------------------------

 

posted @ 2022-07-30 21:54  er007  阅读(88)  评论(0)  编辑  收藏  举报