1019 数学题 欧拉函数扩展 求1..N中与N互质的数的和

 分析

首先

给出一个N，求1..N中与N互质的数的和

if gcd(n,i)=1 then gcd(n,n-i)=1 (1<=i<=n)

反证法：
         如果存在K!=1使gcd(n,n-i)=k,那么(n-i)%k==0
         而n%k=0
         那么必须保证i%k=0
         k是n的因子,如果i%k=0那么 gcd(n,i)=k,矛盾出现;
         于是问题变的非常简单： ANS=N*phi(N)/2
         i,n-i总是成对出现，并且和是n
        于是可能就有人问了，如果存在n-i=i那不是重复计算？
         答案是不会
         因为:
                 n=2*i->i=n/2
         1.如果n是奇数，那么n!=2*i,自然也不存在 n-i=i和重复计算之说
         2.如果n是偶数,n=2*i成立,gcd(n,n/2)必然为n的一个因子,这个因子为1当且仅当n==2
         于是对于n>2的偶数，绝对不存在gcd(n,n/2)=1所以更别说什么重复计算了
         对于n==2
         ans=2*1/2=1，正好也满足
         所以得到最终公式：
       　　　　　　　　　　 ans=N*phi(N)/2 

然后将 n * (n + 1) / 2 - ans 就是最终结果。

//-------------------------代码----------------------------

#define int ll
const int N = 2e6+10,mod = 1e9+7;
int n,m;

int qmi(int a,int b) {
    int res;
    for(res = 1;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % mod) {
        if(b&1)res = 1ll * res * a % mod;
    }
    return res;
}

ll euler(ll n) {
    ll ans = n;
    for(ll i = 2;i * i <= n;i ++ ) {
        if(n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans % mod;
}

void solve()
{
    ll n;
    while (cin >> n){
        ll m = euler(n);
        cout << ((n % mod) * ((n + 1 - m + mod) % mod) % mod * qmi(2, mod - 2)) % mod << '\n';
    }
}

signed main(){
    clapping();TLE;

//    int t;cin>>t;while(t -- )
    solve();
//    {solve(); }
    return 0;
}

/*样例区


*/

//------------------------------------------------------------