1016 斐波那契 矩阵乘法 数学归纳法

 分析

首先 用数学归纳法证明
斐波那契数列前n项平方和 等于 f[n] * f[n+1];
假设 第 n 项时满足 前n项平方和 等于 f[n] * f[n+1];
那么 第 n+1 项时 应该是
f[n] * f[n+1] + f[n+1] * f[n+1]
= f[n+1] * (f[n] + f [n+1] )
= f[n+1] * f[n+2] = 假设的情况
且 第 1 项 平方和 满足
证毕
定义 一个列向量 存放 (f[n+1] f[n] )T
根据矩阵的乘法性质 可以看出
1 1
1 0
这个矩阵乘以 列向量 (f[n+1] f[n])T 就等于 (f[n+2] f[n+1])T
所以 (f[n+1] f[n]) T
就等于 有 n-1 个
1 1
1 0
于 (f[2] f[1])T左乘
根据 矩阵 的结合率
可以先算二阶矩阵的乘积再与 (f[2] f[1])T左乘
就相当于 求 一个矩阵的n-1次 再乘以 一个列向量
可以定义一个结构体存放 二阶矩阵
1 1
1 0
然后 重载乘法 变成矩阵的乘法
再根据 非递归的快速幂 方法快速求出矩阵的n-1次

//-------------------------代码----------------------------

#define int ll
const int mod = 1e9+7;

const int N = 2e6+10;
int n,m;

struct Node {
    ll a[2][2] = {{1,1},{1,0}};
    Node operator* (Node b) {
        Node x;
        x.a[0][0] = (this->a[0][0] * b.a[0][0]) % mod + (this->a[0][1] * b.a[1][0]) % mod;
        x.a[0][1] = (this->a[0][0] * b.a[0][1]) % mod + (this->a[0][1] * b.a[1][1]) % mod;
        x.a[1][0] = (this->a[1][0] * b.a[0][0]) % mod + (this->a[1][1] * b.a[1][0]) % mod;
        x.a[1][1] = (this->a[1][0] * b.a[0][1]) % mod + (this->a[1][1] * b.a[1][1]) % mod;
        return x;
    }
};

Node quick(Node a,ll ans) {
    if(ans == 1) {
        return a;
    }
    Node x;
    ans -- ;
    while( ans ) {
        if( ans & 1 ) {
            x = x * a;
        }
        a = a * a ;
        ans >>= 1;
    }
    return x;
}

void solve()
{
    Node a;
    ll n;
    cin>>n;
    if(n == 1 || n == 2 ) {
        cout<<n<<endl;
        return;
    }
    a = quick(a, n - 1);
    Node f;
    f = a * f ;
    ll fin = (f.a[0][0] * f.a[1][0]) % mod;
//     dbb(f.a[0][0],f.a[1][0]);
    cout<<fin<<endl;
}

signed main(){
    clapping();TLE;

//    int t;cin>>t;while(t -- )
    solve();
//    {solve(); }
    return 0;
}

/*样例区


*/

//------------------------------------------------------------