NC18413 括号 动态规划

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/18413
来源：牛客网

题目描述

小A有一个只包含左右括号的字符串S。但他觉得这个字符串不够美观，因为它不是一个合法的括号串。一个合法的括号串是这样定义的：

1. ()是合法的括号串

2. 若A是合法的括号串，则(A)则是合法的括号串

3. 若A，B是合法的括号串，则AB也是合法的括号串。

小A现在希望删掉S中若干个字符，使得剩下的字符串是一个合法的括号串。小A想知道有多少不同的方案。两个方案是不同的，当且仅当他们删除的位置不同。比如当S是(()时，有两种方案。分别是删掉第一个位置，或是删掉第二个位置。

输入描述:

第一行一个整数n，代表S的长度。
第二行输入n个字符，字符要么是(，要么是)。代表串S。

输出描述:

一行一个整数，代表不同的方案数。答案对10^9+7取模。

示例1

输入

复制 8 )(()(())

8
)(()(())

输出

复制 30

30

备注:

20%: n <= 20
40%: n <= 100
60%: n <= 1000
100%: n <= 10000

分析

首先，得确定是哪种DP，这题是计算完全匹配的方案数量，不是选择。但可以是区间DP，或者线性DP。

为什么不是区间DP，而是线性DP？

这道题的数据范围是1e5，n^2 显然不可能，那就只能是线性DP了

线性DP，随着字符串长度的变长，完全匹配的方案是在增加的，不匹配的左括号也是在增加的，不匹配的左括号的数目最多是多少呢？是当前遍历到的字符串长度。什么时候完全匹配的方案会增加呢？遇到右括号的时候。什么时候不匹配的左括号会增加呢？遇到左括号的时候。

假设f[i][j] 表示 遍历到第i个字符，总共有j个不匹配的左括号的方案数。

由于还没遍历数组的时候，是空集，方案合法，所以初值：f[0][0] = 1 

当遍历到左括号，不匹配的方案数增加，容易想到状态转移方程式：f[i][j] += f[i-1][j-1]

当遍历到右括号，匹配的方案数增加，容易想到状态转移方程是：f[i][j] += f[i-1][j+1]

更改遍历顺序能够压缩数组成一维：f[j] 表示 遍历到第i个字符，总共有j个不匹配的左括号的方案数

最后输出答案f[0] - 1(去掉空集，由例子知，该方案不合法）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10005;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll f[N]; //表示前i个字符中有j个左括号未配对成功的方案数
int n;
char s[N];

int main()
{
scanf("%d%s",&n,s+1);
f[0] = 1;
for(int i = 1;i<=n;i++) {
if(s[i] == '(') {
for(int j = n;j>=0;j--) {
if(j !=0 ) f[j] = (f[j] + f[j-1]) % mod;
}
} else {
for(int j = 0;j<=n-1;j++) {
f[j] = (f[j] + f[j+1]) % mod;
}
}
}
f[0] -- ;
cout<<f[0]<<endl;
}