【胡策篇】题解 (UOJ 192 + CF938G + SPOJ DIVCNT2)

和泉纱雾与烟花大会

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题目来源: UOJ 192 最强跳蚤 (只改了数据范围)
官方题解: 在这里哦~(说的很详细了 我都没啥好说的了)
题目大意: 求树上各边权乘积是完全平方数的路径数量.

这种从\(n^2\)条路径中找出满足xx条件的路径的条数的题, 我们可以根据常识判断要用到点分治.
不过这题并没有用到点分治, 这个一会再说, 我们先来看部分分.

哎呀其实这题好多部分分我都不会写(捂脸

算法1:

直接乘边权处理显然是不行哒, 怕是\(w\leq2\)怕是都要用到高精度了(什么你说\(w\leq1\), 那还用做嘛←_←)
所以我们考虑每个质因子\(p\), 我们要保证它的出现次数是偶数.

我们就可以预处理每个\(w\)的质因数分解, 然后从每个点开始dfs, 用map存一下每个质数出现的次数, 最后统计一波答案.
这样应该是时间复杂度\(O(n^2log^2n)\), 空间复杂度\(O(nlogn)\)的, 期望得分30分.(然而由于部分分不一样大概只能拿到20分, 少的这10分去找验题人要吧..)

算法2: (窝不会写)

我们把\(w\)质因数分解，每个出现过的质数离散化一下，可以发现至多出现\(O(nlogn)\)个不同的质数（事实上当\(\frac{w}{n}\)不是很大的时候这个数目是\(O(n)\)的）。
那么使用bitset维护每个质数的出现次数，再dfs就可以做到\(O(\frac {n^3}{32})\)了，但是这样并不能跑出\(n=3000\)，事实上我们直接对离散化之后的质数开桶统计就能做到\(O(nlog^2n)\)了，期望得分50分。

算法3:

对于\(w<=100\)的点, 质数的个数不会超过32个, 所以我们就预处理质数然后状态压缩一下, 用\(2^{i-1}\)来记录第\(i\)个质数, 然后从根开始dfs一波, 然后对每一位出现过就xor一下, 如果出现次数是偶数最后xor起来一定是0.

我们最后跑出来的每个点会有一个\(d_i\), 我们可以知道, u xor v=0, 当且仅当u=v, 我们就sort一遍 然后统计相同的就行了.
期望得分20分. 结合算法2期望得分60分.

算法4:

算法3已经很接近正解了. 我们考虑把\(1\sim10^8\)的每个质数hash成一个long long范围内的数, 然后像算法3一样从根一路异或即可. 质因数分解的话我们就预处理出\(10^4\)以内的质数, 然后暴力分解就行了.

时间复杂度大概是\(O(\sqrt w+n\pi(w)+nlogn)\)的, 期望得分100分.

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如果能一眼A掉这道题目名称很长的水题就好了

我觉得题目名说的很对.
题目来源: codeforces938G Shortest Path Queries (挺新的比赛, 我都怕你萌做过..
(就是把数据范围从20W改成了10W, 求最小改成了求最大, 别的没了...)
官方题解: 就是找Tutorial啊 (好像是个题解讲的都比我好= =)
题目大意: 支持删边加边, 查询无向图上两个点之间异或最长路.

算法1:

\(n,m,q\leq10\)的数据是让大家解放天性的... 其实出题人并不知道有什么优美的解决方式... 期望得分10分.

算法2:

任意时刻, 地图是一棵树的话很显然不可能删边加边, 所以就是只有查询. 而树上两点的路径是唯一的.
所以这个部分分就是... 让我们异或吧...
期望得分15分. 结合算法1, 期望得分25分.

算法3:

只有查询的话就是WC2011 XOR了.
随便找一棵生成树, 然后用线性基维护所有环即可.
期望得分40分. 结合算法1, 期望得分50分.

算法4:

其实我们发现扫一遍最多是\(O(mlogc)\)的... 所以我们遇到1,2操作可以暴力重构图跑..
时间复杂度\(O(q_{1,2}mlogc)\), 期望得分60分.

算法5:

没有删除的时候我们可以发现, 每个插入的边都是环边, 直接扔到线性基里处理就完了.
结合算法4, 期望得分70分.

算法6:

没有插入的时候, 按照套路倒过来做变删除为插入就行了.
结合算法5, 期望得分80分.

算法7:

都80部分分了写什么正解啊.
我们可以一眼看出我们要用动态树来维护开始时候生成树的形态, 用线性基动态维护环.
但是好像并不可做吧.

这题可以离线啊! (其实用算法6的时候就发现了OvO)
我们对时间建线段树, 某个时间段存在某条边就相当于做区间加, 查询就相当于另一个标记的单点加.
我们先完成这些区间加和单点加, 然后从顶开始dfs线段树, 遇到区间加就加上这条边, 遇到叶子节点就处理所有询问, 从一个子树中出来的时候再回滚我们做过的操作(好好想想你过去的所作所为)就行了.
至于维护树的时候, 可以采用并查集来做到优秀的复杂度, 但是要回滚所以不能做路径压缩, 只能按秩合并.

时间复杂度大概是\(O(qlogq(logn+logc))\)的吧, 反正是可以过了.

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薇尔莉特·伊芙加登

题目来源:SPOJ DIVCNT2 Counting Divisors(square)
(原题数据范围实在是撑不住.... 所以还是缩小了...)
题目大意: 求

\[ans=\sum_{i=1}^nd(\sum_{j=1}^i2j-1) \]

其中\(d(x)\)表示\(x\)的约数个数.

直接按照题意模拟应该是没分的.
可以很轻易地看出\(\sum_{j=1}^i2j-1=i^2\).
所以要求的其实是\(ans=\sum_{i=1}^nd(i^2)\). (其实这才是原题嘛).
这种东西求前缀和的话, 我会杜教筛!
不过这题似乎并不用杜教筛, 不过复杂度分析的时候用到了和杜教筛同样的方法.
还是先看看部分分.

算法1:

暴力把\(d\)筛到\(i^2\), 统计答案.
时间复杂度\(O(n^2)\), 期望得分20分.

算法2:

这个平方很烦, 我们看一下能不能用其它式子表示\(d(x^2)\). 我们令

\[x=\prod_{i}p_i^{k_i} \]

那么

\[x^2=\prod_{i}p_i^{2k_i} \]

我们要枚举\(x^2\)的约数的时候, 可以枚举\(i\)的约数, 然后对于每个约数

\[x'=\prod_{i}p_i^{k_i'} \]

我们可以对于每个\(p_i\)都分别乘上\(k_i\), 就成为了\(i^2\)的因子. 所以

\[d(x^2)=\sum_{d|x}2^{\pi(d)} \]

这个\(2^{\pi(d)}\)是个啥东西呢? 我们可以把它视为\(d\)的每个质因子选0个或者1个之后乘起来得到的\(d\)的因数的个数. 也可以说是\(d\)的无平方因子的个数.
我们还可以惊奇的发现, 无平方因子的\(\mu\)都是-1或1的, 而有平方因子的\(\mu\)都是0, 所以我们可以视为对\(d\)的每个因子\(t\)的\(\mu^2\)求个和.

\[d(x^2)=\sum_{d|x}2^{\pi(d)}=\sum_{d|x}\sum_{t|d}\mu^2(t) \]

这样暴力枚举的话大概是\(O(nlnn)\)的吧.
期望得分40分.

算法3:

我们发现上面这个式子可以写成狄利克雷卷积的形式...

\[d(x^2)=\sum_{d|x}\sum_{t|d}\mu^2(t)=\sum_{d|x}(\mu^2*1)(d)=((\mu^2*1)*1)(x)=(\mu^2*(1*1))(x)=(\mu^2*d)(x) \]

这玩意显然是个积性函数, 找个规律线筛即可.
或者还可以化一下式子:

\[ans=\sum_{i=1}^nd(i^2)=\sum_{i=1}^n(\mu^2*d)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu^2(d)d(\frac id)=\sum_{d=1}^n\mu^2(d)\sum_{t=1}^{\left \lfloor \frac nd \right \rfloor}d(t) \]

线筛到\(n\)然后分块求就行了. 时间复杂度\(O(n)\), 期望得分70分.

算法4:

我们看到这个式子

\[ans=\sum_{d=1}^n\mu^2(d)\sum_{t=1}^{\left \lfloor \frac nd \right \rfloor}d(t) \]

其中这个\(\mu^2\)的前缀和我们可以\(\sqrt n\)的复杂度内算出来.
为什么呢, 因为有来自bzoj2440的这个式子:

\[\sum_{i=1}^n\mu^2(i)=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt n \right \rfloor}\mu(i){\left \lfloor \frac n{i^2} \right \rfloor} \]

\[\sum_{i=1}^nd(i)=\sum_{i=1}^n(1*1)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n}1=\sum_{d=1}^n\left \lfloor \frac nd \right\rfloor \]

所以我们也可以分块在\(O(\sqrt n)\)的复杂度中求出\(d\)的前缀和.
而\(\mu^2\)和\(d\)这两个积性函数我们也可以通过线筛来\(O(n)\)预处理\(O(1)\)查询.
所以类似于杜教筛的复杂度分析方式(我不知道怎么推的式子, 不要问我QAQ)

\[T(n)=O(k+\sum_{i=1}^{\frac nk}\sqrt \frac ni)=O(k+\frac n{\sqrt k}) \]

当\(k=n^{\frac 23}\)的时候, 时间复杂度最优为\(O(n^{\frac 23})\).
所以我们线筛预处理出\(n^\frac 23\)以内的\(\mu^2\)和\(d\)的值, 然后对\(ans\)分块搞, 小于\(n^\frac23\)的部分查表, 大的就\(O(\sqrt n)\)暴力搞就行了.
还可以用map或手写hash map记忆化一下, 速度会有明显的提升.然而是因为数据原因2333

期望得分100分.

就这些咯, 完结撒花~