【笔记篇】斜率优化dp（二） SDOI2016征途

=传=送=门=
~~搜题目名会搜出很多奇怪的东西...~~ 这个题目似乎有点毒?
比如在bzoj和loj上可以1A的代码上会在luogu TLE 2个点, 在cogs TLE 10个点但是根据已有的资料来看数据都是一样的...毒瘤评测姬毁我OI!!!
这个题的状态转移方程并不是很好推的说. 出题人让 $*m^2$ 肯定是有目的的啊..
(比如不让乘 $m^2$ 我们可能会需要考虑乘 $m^2$ 最后再除掉之类的)

然后就化一波式子: 我们令 $sum$ 表示 $n$ 段路的总和.

$m^2s^2=m^2\frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\bar x)^2}m=m\sum_{i=1}^m(x_i-\bar x)^2\\=m\sum_{i=1}^mx_i^2-m\sum_{i=1}^m2x_i\bar x+m\sum_{i=1}^m\bar x^2\\ =m\sum_{i=1}^mx_i^2-(2\sum_{i=1}^mx_i)*(m*\bar x)+m^2(\frac{sum}m)^2\\=m\sum_{i=1}^mx_i^2-2sum^2+sum^2=m\sum_{i=1}^mx_i^2-sum^2$

而 $m$ 和 $sum^2$ 都是常数我们可以不管, 那就是要求最小化 $\sum_{i=1}^mx_i^2$ .
所以令 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 天走了前 $j$ 段路, $s_i$ 表示前 $i$ 段路的前缀和, 那就能写出状态转移方程:

$f[i][j]=min\{f[i-1][k]+(s_j-s_k)^2\} (k\in[1,j))$

那很明显这个是 $O(n^3)$ 可以做的, 这样能拿到60pts了就.
但是想A的话很明显要采用一种 $o(n^2)$ 的算法. 当然你要能 $O(n)$ 甚至 $O(1)$ 过也没啥问题...
那我们就要搬出斜率优化了. 我们继续化式子.
首先很明显第一维跟后面这一堆没啥关系, 那就不优化了, 也可以把这一维去掉, 到时候一滚动数组(其实不滚也能过)就行了.
那状态转移方程就可以改写成:

$f[j]=min\{f'[k]+(s_j-s_k)^2\}$

然后继续化成y=kx+b的形式, $$f[j]=f'[k]+s_j^{2-2s_js_k+s_k}2$$
移项得 $f'[k]+s_k^2$ = $2s_j$ $s_k+$ $f[j]-s_j^2$
这样的话我们就可以正常的斜率优化了. 最后输出 $m*f[n][m]-sum^2$ 就好啦~

不过要修一下边界条件.

比如第 $i$ 天完全可以从 $i$ 开始找, 总不可能回去找前面的路(这样也不会出现被0除错误),
然后 $f[1][x]$ 显然应该等于 $s[x]^2$ , 这样就可以了.
然后又是要开long long的题整天开long long还是挺烦的, 什么时候普及64位系统啊= =

然后就是代码: 并不知道究竟能不能AC 请谨慎复制!

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=3030;typedef long long LL;
LL s[N],q[N],n,m,h,t;LL f[N],g[N];
inline LL gn(LL a=0,char c=0){
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a;
}
inline double slope(LL x,LL y){return 1.0*(g[x]+s[x]*s[x]-g[y]-s[y]*s[y])/(s[x]-s[y]);}
int main(){ n=gn(); m=gn();
    for(LL i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+gn(),g[i]=s[i]*s[i];
    for(LL i=2;i<=m;++i){h=0; t=0; q[h]=i-1;
        for(LL j=i;j<=n;++j){    
            while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<2*s[j]) ++h;
            f[j]=g[q[h]]+(s[j]-s[q[h]])*(s[j]-s[q[h]]);
            while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(j,q[t])) --t;
            q[++t]=j;
        }::memcpy(g,f,sizeof(g));
    }printf("%lld",f[n]*m-s[n]*s[n]);
}