【学术篇】网络流24题--飞行员配对方案问题

咳咳……
传送门：https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2756

这个题的基本模型：二分图最大匹配。。
我们可以将外籍飞行员放在左边，英国飞行员放在右边，能合作的两个飞行员之间连一条边，构出来的图就像这样~~

这样能派出的最大飞机数就是这个二分图的最大匹配……
最简单的算法是Hungary Algorithm（匈牙利算法）（并不是Hungry）

匈牙利算法比较简单，你们自己去搜一下，原理代码都很清楚。。
不过令我吐槽的是搜到的模板基本都是邻接矩阵写的，而我比较习惯数组模拟的邻接表 _ (:з」∠) _

然后下面是代码（时间复杂度：O(N^2*M)）

#include <cstdio>
#include <cstring> 

#define gc getchar()
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

const int N=505;

struct edge{
    int to,next;
}e[N*N+15]; int v[N],tot=1;

int c[N],match[N];
bool vis[N];

int n,m;

inline int gnum(){
    int a=0;char c=gc;bool f=0;
    for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc);
    if(c=='-') f=1,c=gc;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
    if(f) return -a; return a;
}

void build(int x,int y){
    e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; v[x]=tot;
}

bool dfs(int x){
    for(int i=v[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(vis[y]==0){
            vis[y]=1;
            if(match[y]<0||dfs(match[y])){
                c[x]=y; match[y]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int hungary(){
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(c[i]<0)
            cl(vis,0),ans+=dfs(i);
    return ans;
}

int main(){
    n=gnum(),m=gnum();
    cl(match,-1); cl(c,-1);
    do{
        int u=gnum(),v=gnum();
        if(u==-1) break;
        build(u,v);
    }while(1);
    int ans=hungary();
    if(!ans){
        puts("No Solution!");
        return 0;
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=m;i++) //输出方案..
        if(~c[i])
            printf("%d %d\n",i,c[i]);
}

不过，二分图上还N^2*M的算法怎能忍受..
所以，两位歪果大神YY出了一种O(N^0.5*M)的算法..
他们一个人叫John E. Hopcroft，另一个叫Richard M. Karp，所以这个算法叫Hopcroft-Karp算法..
这个算法网上讲的也不少，但模板似乎竟然还有假的..（比如这题样例都会找错）
还有神犇想要具体研究这个算法可以去看原始论文 其实是可以下到的~~
论文你们可以去http://download.csdn.net/detail/shoulea/5659515 下嘛..

代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using std::queue;

#define gc        getchar()
#define cl(a,b)    memset(a,b,sizeof(a))

const int N=505;
const int INF=~0U>>1;

int cx[N],cy[N],dx[N],dy[N];
bool vis[N];

int n,m,dis;

struct Node{
    int to,next;
}e[N*N+15]; int v[N],tot=1;

inline int gnum(){
    int a=0;char c=gc;bool f=0;
    for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc);
    if(c=='-') f=1,c=gc;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
    if(f) return -a; return a;
}

inline void build(int x,int y){
    e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; v[x]=tot;
}

bool bfs(){
    cl(dx,-1); cl(dy,-1);
    queue<int> q; dis=INF;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(cx[i]<0)    
            q.push(i),dx[i]=0;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front(); q.pop();
        if(dx[x]>dis) break;
        for(int i=v[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to; 
            if(dy[y]<0){
                dy[y]=dx[x]+1;
                if(cy[y]<0) dis=dy[y];
                else dx[cy[y]]=dy[y]+1,q.push(cy[y]);
            }
        }
    }
    return dis!=INF;
}

bool dfs(int x){
    for(int i=v[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(!vis[y]&&dy[y]==dx[x]+1){
            vis[y]=1;
            if(cy[y]!=-1&&dy[y]==dis) continue;
            if(cy[y]==-1||dfs(cy[y])){
                cx[x]=y; cy[y]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int hopcroft_karp(){
    int ans=0;
    cl(cx,-1); cl(cy,-1);
    while(bfs()){
        cl(vis,0);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(cx[i]<0&&dfs(i)) ans++;        
    } 
    return ans;
}

int main(){
    n=gnum(); m=gnum();
    do{
        int u=gnum(),v=gnum();
        if(u==-1) break;
        build(u,v);
    }while(1);
    int ans=hopcroft_karp();
    if(!ans){
        puts("No Solution!");
        return 0;
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(~cx[i])printf("%d %d\n",i,cx[i]);
}

这样就结束了吗？并不是的，这题还有更一般的做法——网络流。。
不然干嘛要归到网络流24题里啊
我们搞出一个源点S和汇点T，将所有外籍飞行员与S连边，将所有英国飞行员与T连边，
我们再看：

这就是一个网络流图了。。
因为是二分图，我们不妨跑dinic（其实还是O(N^0.5*M)）
不过拥有更好的普适性而且还能直接复制粘贴板子
代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using std::queue;
using std::min;

#define gc getchar()
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

const int MAXV=202;
const int MAXE=40404;
const int INF=~0U>>1;

struct edge{
    int to,next,data;
}e[MAXE]; int v[MAXV],tot=1;

int d[MAXV];
int cur[MAXV];
int s,t;

inline int gnum(){
    int a=0; char c=gc; bool f=0;
    for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc);
    if(c=='-') f=1,c=gc;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
    if(f) return -a; return a;
}

void build(int x,int y,int z){
    e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; e[tot].data=z; v[x]=tot;
    e[++tot].to=x; e[tot].next=v[y]; e[tot].data=0; v[y]=tot;
}

bool bfs(){
    cl(d,-1); d[s]=0;
    for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=v[i];
    queue<int> q; q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front(); q.pop();
        for(int i=v[x];i;i=e[i].next)
            if(e[i].data&&d[e[i].to]<0)
                d[e[i].to]=d[x]+1,q.push(e[i].to);
    }
    return d[t]>0;
}

int dfs(int x,int mx){
    if(!mx||x==t) return mx;
    int k,s=0;
    for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){
        cur[x]=i;
        if(d[e[i].to]==d[x]+1&&(k=dfs(e[i].to,min(mx,e[i].data)))){
            s+=k; mx-=k; e[i].data-=k; e[i^1].data+=k;
            if(!mx) break;
        }
    }
    return s;
}

int dinic(){
    int ans=0;
    while(bfs()) ans+=dfs(s,INF);
    return ans;
}

void findpath(int m){
    for(int x=1;x<=m;x++)
        for(int i=v[x];i;i=e[i].next)
            if(!(i&1)&&!e[i].data)
                printf("%d %d\n",x,e[i].to);         
}

int main(){
    int m=gnum(),n=gnum(),ans; s=0,t=n+1;
    for(int i=1;i<=m;i++) build(s,i,1);
    for(int i=m+1;i<=n;i++) build(i,t,1);
    do{
        int u=gnum(),v=gnum();
        if(u==-1) break;
        build(u,v,1);
    }while(1);
    ans=dinic();
    if(!ans) puts("No Solution!");
        else printf("%d\n",ans),findpath(m);
}

最后的最后，我要告诉大家一个秘密^o^：
这题没有No Solutiontion的情况~~
我会说我已经用两种代码A完才看见无解要输出No Solution嘛

The End..