扩展欧几里得算法

本文主要讲解如何直观地理解扩展欧几里得算法，并给出简要证明。

 

扩展欧几里得算法是给定一组整数a和b，求解出一组x和y，使得ax + by = gcd(a, b).

 

算法的第一步是先执行最大公约数的算法过程：

 

自然地，最后一次迭代的结果就是我们需要的等式右边：

 

因此对于最后一次迭代，令x = 1，y = 0，即可满足所需等式：

 

那么再反推到之前的迭代。对于每一次迭代，都有$a_{之后}=b_{之前}$，且 $b_{之后}=a_{之前}-[\frac{a_{之前}}{b_{之前}}]\cdot b_{之前}$ （注：[ ]是取整符号）。而为了让扩展欧几里得等式成立，需要使$a_{之前}*x_{之前}+b_{之前}*y_{之前}=a_{之后}*x_{之后}+b_{之后}*y_{之后}$成立

 

代换后得到：

$a_{之前}*x_{之前}+b_{之前}*y_{之前}=b_{之前}*x_{之后}+\left ( a_{之前}-[\frac{a_{之前}}{b_{之前}}]\cdot b_{之前} \right )*y_{之后}$

将等式的右边整理一下得到：

$a_{之前}*x_{之前}+b_{之前}*y_{之前}= a_{之前}*y_{之后}+b_{之前}*(x_{之后}-[\frac{a_{之前}}{b_{之前}}]*y_{之后})$

因此为了使这个等式成立，可得：

$\[\left\{\begin{matrix} x_{之前}=y_{之后} \\ y_{之前}=x_{之后}-[\frac{a_{之前}}{b_{之前}}]*y_{之后} \end{matrix}\right.\]$

再一直层层往前回推，直到a、b变为最原始的a、b，则得到的x和y就是所要求的值。

 

这个算法好像没有非递归的写法，只有递归的写法。算法如下（将往下推的步骤写在调用下一层递归之前，把往回推的过程写在调用下一层递归之后）：

 

ext_gcd(a, b) returns [x, y] :

if (b == 0) return [1, 0];

[x, y] = ext_gcd(b, a%b);

temp = x;
x = y;
y = temp - a / b * y;

return [x, y];