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常用算法：二分-K均值算法
聚类的两个基本问题：性能度量和距离计算
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“无监督学习”代表性任务：聚类，密度估计，异常检测
一、聚类任务
1. 样本是未标记的
2. 聚类形成“簇” （cluster）
二、性能度量
两大类，“外部指标”与“内部指标”
1. “外部指标”，聚类的结果与“参考模型”（或者“专家模型”）的结果进行比较——
a, b, c, d满足a+b+c+d = m(m-1)/2.
上述性能度量的结果均值在[0, 1]区间内，值越大越好。
2. “内部指标”，直接考察聚类结果而不利用任何参考模型
定义，
dist(., .)用于计算两个样本之间的距离，常用内部指标——
三、距离计算
当，
p=2时，闵可夫斯基距离即欧式距离
p=1时，为曼哈顿距离（各个维度上的绝对轴距总和）
上图摘自维基百科，红蓝黄皆为曼哈顿距离，绿色为欧式距离。
通常我们基于某种形式的距离来定义“相似度度量”，距离越大，相似度越小。
四、原型聚类
算法先对原型进行初始化，然后对原型进行迭代更新求解。
k均值聚类法（k-means）——
Python代码实现：参考《机器学习实战》
用到的库有numpy和matplotlib
KMeans.py文件
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2))) #求这两个矩阵的距离，vector1、2均为矩阵
# init centroids with random samples
#在样本集中随机选取k个样本点作为初始质心
def initCentroids(dataSet, k):
numSamples, dim = dataSet.shape #矩阵的行数、列数
centroids = zeros((k, dim)) #感觉要不要你都可以
for i in range(k):
index = int(random.uniform(0, numSamples)) #随机产生一个浮点数，然后将其转化为int型
centroids[i, :] = dataSet[index, :]
return centroids
# k-means cluster
#dataSet为一个矩阵
#k为将dataSet矩阵中的样本分成k个类
def kmeans(dataSet, k):
numSamples = dataSet.shape[0] #读取矩阵dataSet的第一维度的长度,即获得有多少个样本数据
# first column stores which cluster this sample belongs to,
# second column stores the error between this sample and its centroid
clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2))) #得到一个N*2的零矩阵
clusterChanged = True
## step 1: init centroids
centroids = initCentroids(dataSet, k) #在样本集中随机选取k个样本点作为初始质心
while clusterChanged:
clusterChanged = False
## for each sample
for i in range(numSamples): #range
minDist = 100000.0
minIndex = 0
## for each centroid
## step 2: find the centroid who is closest
#计算每个样本点与质点之间的距离，将其归内到距离最小的那一簇
for j in range(k):
distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
if distance < minDist:
minDist = distance
minIndex = j
## step 3: update its cluster
#k个簇里面与第i个样本距离最小的的标号和距离保存在clusterAssment中
#若所有的样本不在变化，则退出while循环
if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
clusterChanged = True
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2 #两个**表示的是minDist的平方
## step 4: update centroids
for j in range(k):
#clusterAssment[:,0].A==j是找出矩阵clusterAssment中第一列元素中等于j的行的下标，返回的是一个以array的列表，第一个array为等于j的下标
pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]] #将dataSet矩阵中相对应的样本提取出来
centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0) #计算标注为j的所有样本的平均值
print ('Congratulations, cluster complete!')
return centroids, clusterAssment
# show your cluster only available with 2-D data
#centroids为k个类别，其中保存着每个类别的质心
#clusterAssment为样本的标记，第一列为此样本的类别号，第二列为到此类别质心的距离
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
numSamples, dim = dataSet.shape
if dim != 2:
print ("Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!")
return 1
mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
if k > len(mark):
print ("Sorry! Your k is too large! ")
return 1
# draw all samples
for i in range(numSamples):
markIndex = int(clusterAssment[i, 0]) #为样本指定颜色
plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])
mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
# draw the centroids
for i in range(k):
plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)
plt.show()
测试文件test.py
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import KMeans
## step 1: load data
print ("step 1: load data..." )
dataSet = [] #列表，用来表示，列表中的每个元素也是一个二维的列表；这个二维列表就是一个样本，样本中包含有我们的属性值和类别号。
#与我们所熟悉的矩阵类似，最终我们将获得N*2的矩阵，
fileIn = open("D:/xuepython/testSet.txt") #是正斜杠
for line in fileIn.readlines():
temp=[]
lineArr = line.strip().split('\t') #line.strip()把末尾的'\n'去掉
temp.append(float(lineArr[0]))
temp.append(float(lineArr[1]))
dataSet.append(temp)
#dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])#上面的三条语句可以有这条语句代替
fileIn.close()
## step 2: clustering...
print ("step 2: clustering..." )
dataSet = mat(dataSet) #mat()函数是Numpy中的库函数，将数组转化为矩阵
k = 4
centroids, clusterAssment = KMeans.kmeans(dataSet, k) #调用KMeans文件中定义的kmeans方法。
## step 3: show the result
print ("step 3: show the result..." )
KMeans.showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)
运行结果图如下： 
上面是出现的两种聚类的结果。由于基本K均值聚类算法质心选择的随机性，其聚类的结果一般比较随机，一般不会很理想，最终结果往往出现自然簇无法区分的情况，为避免此问题，本文采用二分K均值聚类算法。
k-means算法分析
k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：
（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：
（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：
（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：
（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。
k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。
五、密度聚类
代表性算法：DBSCAN
六、层次聚类
代表性算法：AGNES
