算法篇——Cantor的数表

 

　　来源：《算法竞赛入门经典》例题5.4.1

　　题目：现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的： 第一项是1/1，第二项是是1/2，第三项是2/1，第四项是3/1，第五项是2/2，……。输入n，输出第n项。

　　　　

　　样例输入：
　　3
　　14
　　7
　　12345
　　样例输出：
　　2/1
　　2/4
　　1/4
　　59/99

　　分析：

　　数表提示我们按照斜线分类。第1条斜线有1个数，第2条有2个数，第3条有3个数……第k条有k个数。这样，前k条斜线一共有S=1+2+3+……+k个数。

　　第n项在哪条斜线上呢？只要找到一个最小的k，使得S≥n，那么第n项就是第k条斜线上倒数第S-n+1个数（最后一个元素是倒数第1个元素，而不是倒数第0个元素）。

　　而k的奇偶决定着第k条斜线上数的顺序：若k是奇数，第k条斜线上倒数第i个元素是i/(k+1-i)；若k是偶数，第k条斜线上倒数第i个元素是(k+1-i)/i。

　　源码：

#include<stdio.h>

int main()
{
    int n,k,s;            //前k挑斜线一共s个数
    while(scanf("%d",&n) == 1)
    {    
        k=0;
        s=0;
        while(s<n)        //找到最小的k使得s>=n
        {
            k++;
            s+=k;
        }
        if(k%2==1)        //k的奇偶决定着斜线上数的顺序,n是第k条斜线上倒数第s-n+1个数
            printf("%d/%d\n",s-n+1,k+n-s);    //若k是奇数，第k条斜线上倒数第i个元素是i/(k+1-i)
        else
            printf("%d/%d\n",k+n-s,s-n+1);    //若k是偶数，第k条斜线上倒数第i个元素是(k+1-i)/i
    }
    
    return 0;
}