树链剖分
由于是在树上搞的 ds 所以考察数据结构本身性质偏多,需大力注重细节。
思想
考虑将一颗树的链划分成若干个区间进行维护。
这种划分方式叫做剖分。
约束
-
一颗有根树(有时要求换根但不是真正换根)
-
每个点恰好包含在一条剖出的链中(若被多条链同时包含则需要同时维护多条链,修改多余的可能影响复杂度)
-
剖分出来的链上面的节点深度有序
-
每条链的深度最大的端点为叶子节点
重儿子
决定了剖分的方式。
对于一个非叶子节点
重边与轻边
上述
重儿子种类
下文默认
一般有两种:
-
为 的所有儿子中子树大小最大的 -
为 所有儿子中子树中深度最大的
若多个
重链剖分
设
每条由
性质
-
若
是 的轻儿子,那么有 -
任意节点到根的轻边数量为
-
任意两点间的链上轻边数量为
-
所有重链链顶节点子树大小之和为
-
重链上的节点 dfs 序连续
维护一段简单路径
由于性质
考虑每次拿链顶深度大的跳,由于一段重链的 dfn
是连续的,因此是很容易用数据结构维护的。
至于正确性可以感性理解一下,由于树的特殊结构,你无论怎么往上跳两个点是一定会落到同一条重链上的,并且此过程覆盖了两点路径上的所有点且没有冗余。
下面是伪代码:
while top[x] != top[y]
if dep[top[x]] < dep[top[y]]
swap(x, y);
do something
x = fa[top[x]];
do something
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