01 分数规划
问题模型
给定 \(a,b\) 两个长度为 \(n\) 的序列,求下列式子最大值:
\[\frac{\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i}{\sum_{i = 1} ^ {n} b_i · x_i}
\]
其中 \(\forall i \in [1, n], x_i \in \left \{1, 0 \right \}\)。
解法
不妨设我们已经求出了这个最大值 \(k\)。
那么有:
\[\frac{\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i}{\sum_{i = 1} ^ {n} b_i · x_i} \le k
\]
把分母移过去:
\[\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i \le k · \sum_{i = 1} ^ {n} b_i · x_i
\]
再移右边:
\[\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i - k · \sum_{i = 1} ^ {n} b_i · x_i \le 0
\]
\(k\) 乘进 \(\sum\) 里面:
\[\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i - \sum_{i = 1} ^ {n} k · b_i · x_i \le 0
\]
合并 \(\sum\):
\[\sum_{i = 1} ^ {n} a_i · x_i - k · b_i · x_i \le 0
\]
提出 \(x_i\):
\[\sum_{i = 1} ^ {n} x_i · (a_i - k · b_i) \le 0
\]
于是一个整体贡献被我们拆成了单体贡献。
不难发现 \(k\) 影响整个式子的单调性,考虑二分 \(k\)。
此时 \(x_i\) 的取值是由 \(i\) 位置所对应的贡献决定的,把每个贡献算出来之后再去作文章。
举个例子,约束 \(\sum_{i = 1} ^ n [x_i] \le k\) 时,将贡献从大到小排序,至多取前 \(k\) 个大于 \(0\) 的贡献即可。
这里的时间复杂度就是 \(O(n \log n \log V)\) 的,其中 \(V\) 为值域。
有时可能会与 01 背包和生成树等结合起来,具体的会在下面的例题部分细讲。
例题
POJ 2976 Dropping tests
板子。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define db double
#define pb push_back
using namespace std;
const int N = 1e3 + 5;
const db eps = 1e-6;
int n, k;
db a[N], b[N], c[N];
inline bool check(db x) {
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
c[i] = a[i] - x * b[i];
sort(c + 1, c + 1 + n);
db res = 0;
for(int i = k ; i <= n ; ++ i)
res += c[i];
return res >= 0;
}
inline void solve() {
++ k;
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
cin >> a[i];
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
cin >> b[i];
db l = -1e12 - 5.0, r = 1e12 + 5.0, mid;
while(r - l > eps) {
mid = (l + r) / 2;
if(check(mid)) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.0lf\n", 100.0 * l);
}
signed main() {
ios_base :: sync_with_stdio(NULL);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
while(true){
cin >> n >> k;
if(! n && ! k) return 0;
solve();
}
return 0;
}