树的特殊选讲
树的直径
模板题。
定义
树的任意两点之间的最长简单路径。
求法
dfs 做法
从任意一个节点 dfs 到和其距离最远的节点,可以证明其为树的直径的一端。然后再以直径的一端 dfs 走到和其距离最远的节点即可得出答案。
若要记录直径路径的话只需在第二次 dfs 上记录每个节点的前驱即可。
inline void dfs(int x, int last) {
for(auto u : g[x])
if(u.v != last) {
d[u.v] = d[x] + u.w;
if(d[c] < d[u.v]) c = u.v;
fa[u.v] = x;
dfs(u.v, x);
}
}
//寻找直径端点
ans[++ cnt] = c, ans[++ cnt] = cc;
while(fa[c] != cc) c = fa[c], ans[++ cnt] = c;
//路径记录
- 注:本做法不适用于负边权。
dp 做法
设
接下来考虑两个 dp 序列的转移。
当
inline void dfs(int x, int last) {
for(auto u : g[x])
if(u.v != last) {
dfs(u.v, x);
int t = d1[u.v] + u.w;
if(t > d1[x]) d2[x] = d1[x], d1[x] = t;
else if(t > d2[x]) d2[x] = t;
}
}
性质
- 树的直径不一定唯一
- 树的直径若有多条,那么必交于一点,这一点必为直径的中点,也称之为树的中心(反证法证明)
- 树上任意点
距离其最远的点一定是直径的端点 - 两棵树连边,选择树的中心相连,新的树直径最小
- 树的题目的端点一定是度数为
的点
例题
CF1404B Tree Tag
- 步骤
分类讨论。
1.Alice 一步即可抓到 Bob:
2.
3.Alice 站在树的中心时,只需要覆盖最长链:
维护树的直径即可。
CF455C Civilization
- 步骤
1.树的边权为
2.每次连边,连树的中心最优,则新树的直径为:
维护树的直径即可。
CF1294F Three Paths on a Tree
1.先考虑两个点,显然选直径的两端点
2.反证可以得到选三个点是必然会选树的直径的两个端点
3.无论第三个点
4.枚举
维护 LCA 和树的直径即可。
还有一种做法是以直径上的每一个点跑 bfs 求最短路(血色先锋队)可以将时间复杂度优化至
树的重心
定义
以一个
性质
-
树的重心如果不唯一,则至多有两个,且这两个重心相邻。
-
以树的重心为根时,所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
-
树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的;如果有两个重心,那么到它们的距离和一样。
-
把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树,那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
-
在一棵树上添加或删除一个叶子,那么它的重心最多只移动一条边的距离。
求法
根据定义,我们用在搜索到每一个节点时求其每一个子树与
需要注意的是因为我们在树上 dfs 时需钦定一个节点作为根的特殊性,我们要特判
inline void get_ctr(int x, int last) {
sz[x] = 1;
for(auto u : g[x])
if(u != last) {
dfs(u, x);
sz[x] += sz[u];
mxs[x] = max(mxs[x], sz[u]);
}
mxs[x] = max(mxs[x], n - sz[x]);
if(mxz[x] << 1 <= n) ctr.pb(x);
}
例题
CF685B Kay and Snowflake
- 步骤:
1.从下往上处理每一个子树的重心
2.对于任意点
3.对于任意点
4.跳倍增即可
关键代码:
inline void dfs(int x, int last) {
sz[x] = 1;
for(auto u : g[x])
if(u != last) {
dfs(u, x);
sz[x] += sz[u];
if(sz[u] > mxs[x]) mxs[x] = sz[u], son[x] = u;
}
mxs[x] = max(mxs[x], n - sz[x]);
int tmp = ans[son[x]];
if(! son[x]) {
ans[x] = x;
return;
}
while(sz[tmp] << 1 <= sz[x]) tmp = fa[tmp];
ans[x] = tmp;
}
某题
- 分析
1.每棵树内部点对贡献不变,只有经过新加边的点对才能影响结果
2.设新加边端点为
3.贪心地想,新边应该连接两棵树的重心
4.连边后得到新树,枚举每条边,计算出每条边被经过的次数,再求和即为答案
5.维护
6.从点
7.对两个重心连边之后,dfs 维护
CF708C Centroids
好题。
- 方法 1:暴力
1.枚举每个点
2.若
时间复杂度
- 方法 2:换根避免枚举
个点
1.
2.维护
3.维护
4.若
树的中心
定义
当选取树上节点
性质
- 树的中心至多有两个,且一定相邻(反证法)
- 树的中心一定在树的直径上,且为直径的中点
- 树的直径若有多条那么一定交于树的中心或两个树的中心的连边
- 树的中心为根时根到树的直径的两个端点就是最长链和次长链
求法
原理
求出树上每个点
步骤
1.维护
2.维护
3.
例题
U392706 【模板】树的中心
板子。
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