倍增

RMQ

ST 表

不用讲,浅显易懂,背背板子。

例题

Loj 10121 与众不同

一个需要瞪眼发现单调性的题目。

  • 分析

1.维护 lastval 表示元素 val 上一次出现的位置

2.维护 si 表示以 i 为右端点的完美序列的起点,则:

si=max{si1,lastai+1}

如果这样去维护 s 的话就使得 s 一定是单调不减的。

3.对于询问的 [l,r] 存在一个分界点 p 使得终点 p[p,r] 间的完美序列的起点也在 [l,r] 内,终点在 [l,p1] 间的完美序列起点在 l 左边

4.p1 之前的起点都是 l,则完美序列的最大长度为 (p1)l+1=pl,若起点在 [p,r] 间则用 st 表维护 isi+1 的最大值,则每组询问的答案为:

max{pl,maxi[p,r]{isi+1}}

5.由于 s 单调不减,所以 p 可以二分查找得到

6.注意 ai 的值域可能为负,p 可能不存在

时间复杂度 O(nlogn+mlogn)

树上倍增

通常维护 dpi,j 表示节点 i 沿着祖先跳 2j 到达的节点编号、区间最值、区间和等。

LCA

什么啥比倍增,我爱树剖。

平心而论还是倍增好写。

性质

1.LCA 与根是谁有关

2.树上两点距离与根无关

3.设 disi 表示根到 i 的距离,dist(i,j) 表示树上节点 i,j 间的距离,则:

dist(x,y)=disx+disy+2disLCA(x,y)

容斥原理。

例题

P3398 仓鼠找 sugar

推 LCA 性质。

  • 题意

给定一棵树,q 次询问,每次询问 abcd 的路径是否有交。

  • 分析

用二元组 (x,y) 表示 xy 这条路径

可以大胆猜一个结论:两段路径有且仅有其端点的 LCA 与另一个路径有交。

证明:

若有两个交点,那么原图为一棵基环树,存在环,与原条件矛盾。

P4281 [AHOI2008] 紧急集合 / 聚会

  • 分析

1.三点可以先取两点的 LCA 再与第三点求 LCA

2.可以证明三点至多只会有两个不同的 LCA

3.容斥算得三点间的距离:

disx+disy+diszdisLCAx,ydisLCAy,zdisLCAx,z

CF379F New Year Tree

  • 分析

1.每次操作只会加同一深度、同一子树内的两个节点,树的直径至多加一且如果直径增加,一定是新加的节点导致的,也就是说新加的节点一定是直径的端点,且两个新加的节点是等价的

2.维护直径的端点,比较 dis(cnt,x),dis(cnt,y),dis(x,y),其中 x,y 为直径端点,cnt 为新加节点

3.倘若用倍增去求 LCA 每次单独更新 facnt,i 即可

时间复杂度是小常数 O(qlogq)

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