概率论基础概念

 

1. 基础概念

• 样本空间

比如筛子一共有6个数字，样本空间就是，如果连续抛三次，样本空间的大小就是；当然还有连续的样本空间比如

• 随机事件

抛筛子结果为1的事件……抛筛子结果为6的事件，称之为基本随机事件。在这些基本随机事件的基础之上，可以进行任意组合，称之为复合随机事件。 在基本随机事件中，产生的结果都是样本空间中的一个元素；而在复合随机事件产生的结果都是样本空间中的一个或多个元素的集合。对于复合随机事件，比如抛3次骰子（复合随机事件），点数大于4（随机变量映射函数）的次数（随机变量）。

• 随机变量

随机事件发生时，将事件映射到一个实值，随机变量的产生是一个函数，如果是基本随机事件，那么随机变量是， 比如抛骰子，事件的随机变量函数为,所以得到的结果就是。继续上面的例子。抛3次骰子，每次抛到5或者6则符合条件，随机变量。

 

• 概率与概率函数

是概率，是随机变量，是某一次的变量值，比如抛骰子某一次的值。继续上面的例子，可以翻译成：抛3次骰子，点数大于4的次数为的概率。现在来求解上面的例子：抛一次骰子，得到5,或6的概率是，得到其他点数的概率是，一共抛3次，如果为1，则有三种情况，{事件A成功BC不成功，事件B成功AC不成功，事件C成功AB不成功} ，集合中每项的概率为 ${(\frac{1}{3})^i} \times {(\frac{2}{3})^{3 - i}}$，一共有种，由此得到了公式：$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ i \end{array}} \right){(\frac{1}{3})^i} \times {(\frac{2}{3})^{3 - i}}$，这就是著名的二项分布。

如果设定一个函数$\mathop {f(x)}\limits_{{x^i} \in x}  = \Pr (X = {x_i})$，则叫做概率函数，或者叫做概率密度函数。

• 概率分布函数

现在继续上面的例子，现在将所有可能的随机变量概率写成一个0~3的区间函数，得到一个概率分布函数。现在来想象一下这个函数的图像，在这4个离散点上轴突然有值，其他地方均是0，这个函数图像与上面所讲的是一摸一样的，所以，对于离散的随机变量，概率密度函数=概率分布函数，在概率论上，为了区分离散与连续，为离散型随机变量的概率取名叫概率函数。这样就统一了，以后见到概率函数，首先想到离散，然后想到即是概率密度函数。