贝叶斯分类小结
在《贝叶斯之朴素理解》比较详细地总结了一个朴素贝叶斯。这里再对非朴素贝叶斯做一个小结,以了结贝叶斯分类。
1、非朴素贝叶斯公式
1.1 高维高斯分布
在此之前,我们同样先需准备一些数学知识,高维高斯概率分布,或者也叫做联合高斯概率分布,它有如下公式
注:如果特征属性是以列向量的形式表示的,那么上式(1-1)应表示为
\[p(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\Sigma|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) \]
上式中,\(\boldsymbol{\mu}=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)\)表示特征\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的均值向量,即有
注:其中\(n\)表示特征的个数,\(m\)表示样本数。
\(\Sigma\)表示协方差矩阵,\(|\Sigma|\)表示协方差矩阵的行列式,协方差阵可以表示为
其中\(\mathbf{x}_j\)表示第\(j\)个样本的特征行向量。
1.2 联合贝叶斯公式
与《贝叶斯之朴素理解》第2小节中的贝叶斯公式类似,可以表达为如下公式
同样我们可以假设其中的似然概率\(p(\mathbf{x}|c_k)\)服从高斯分布,那么由式(1-1)可得似然概率的表达式为
由于对所有的\(p(c_k|\mathbf{x})\),\(p(\mathbf{x})\)都是一样的,所以我们只需要对式(1-4)的分母比较大小,因此我们可以推出如下判别式
注:取对数,可以简化我们的计算,并不影响我们对大小的判断。更进一步地,我们可以将上式的表达式中的常数项去掉。
最终,我们只需要对式(1-6)进行计算,即可分出类别。
2、非朴素贝叶斯实现
2.1 准备数据
与《贝叶斯之朴素理解》第4小节类似,我们先准备好我们的工作环境:jupyter
+python3.6
,这是我目前用的环境,如果大家没有用过jupyter
,我建议大家用一下,相信你会爱上它的。关于jupyter的安装和下载以及使用,我在这里就不说了,聪明的你自会百度或google。其次,我们再准备一下数据集:CIFAR-10图像数据,我将其放入了我的百度网盘,链接: https://pan.baidu.com/s/1yIkiL7xXHsqlXS53gxMkEg 提取码: wcc4。原始的CIFAR-10图像是一个用于普世物体识别的数据集,分为airplane、automobile、bird、cat、deer、dog、frog、horse、ship、truck共10类,但是这里为了简单起见,我用了其中3类。
注:由于在《贝叶斯之朴素理解》一文中详细地说明了关于数据的读取,这里就不多说了,直接贴出代码,相信机智的你也能看懂。
下面代码为读取数据(请保证数据集在当前文件路径下的data文件夹下)
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.io import loadmat
train_data_mat = loadmat("./data/train_data.mat")
test_data_mat = loadmat("./data/test_data.mat")
labels_name_mat = loadmat("./data/labels_name.mat")
# 训练数据和标签
train_data = train_data_mat["Data"]
train_data_label = train_data_mat["Label"]
# 测试数据和标签
test_data = test_data_mat["Data"]
test_data_label = test_data_mat["Label"]
# 标签的实际名字
label_names = labels_name_mat["label_names"]
# 因为标签名字有误,我这里把它手动改一下
label_names[:, 0] = ['automobile', 'bird', 'cat', 'deer', 'dog']
col_name_lst = [0]*3072
for i in range(1, 3073):
col_name_lst[i-1] = "x" + str(i)
# 结构化训练集数据
train_data = pd.DataFrame(train_data, columns=col_name_lst)
train_data_label = pd.DataFrame(train_data_label, columns=['class_no'])
train_dataFrm = train_data.join(train_data_label)
# 结构化测试集数据
test_data = pd.DataFrame(test_data, columns=col_name_lst)
test_data_label = pd.DataFrame(test_data_label, columns=['class_no'])
test_dataFrm = test_data.join(test_data_label)
# 上面所得到的数据是全部5类的数据,下面只取出前3类数据
train_dataFrm = train_dataFrm[train_dataFrm["class_no"] <= 3]
train_data = train_dataFrm.drop(columns=["class_no"], axis=1)
train_data_label = train_dataFrm["class_no"].copy()
test_dataFrm = test_dataFrm[test_dataFrm["class_no"] <= 3]
test_data = test_dataFrm.drop(columns=["class_no"], axis=1)
test_data_label = test_dataFrm["class_no"].copy()
# 查看取出3类后的基本的数据结构信息
# print(train_data_label.shape)
# print(train_data.shape)
# print(test_data_label.shape)
# print(test_data.shape)
2.2 实现贝叶斯
据式(1-6)实现如下贝叶斯分类器。
计算均值向量和协方差矩阵
from sklearn.decomposition import PCA
# 利用PCA对原始数据进行降维
pca = PCA(n_components=21)
pca.fit(train_data)
train_data_pca = pca.transform(train_data)
test_data_pca = pca.transform(test_data)
train_data_pca = pd.DataFrame(train_data_pca, index=train_dataFrm.index)
test_data_pca = pd.DataFrame(test_data_pca, index=test_dataFrm.index)
# 求出每个类的均值向量和协方差矩阵
train_cls_cov = []# 协方差矩阵
train_cls_cov_inv = []#协方差矩阵的逆
train_cls_cov_det = []#协方差矩阵的行列式
train_cls_mean = []#均值向量
for i in range(0,3):
train_cls_cov.append(np.cov(train_data_pca[train_dataFrm["class_no"]==1+i].T))
train_cls_cov_inv.append(np.linalg.inv(train_cls_cov[i]))
train_cls_cov_det.append(np.linalg.det(train_cls_cov[i]))
train_cls_mean.append(train_data_pca[train_dataFrm["class_no"]==1+i].mean())
注:上面的代码中利了PCA对数据进行降维,关于PCA的知识,后面有时间再讨论。这里之所以要进行降维,有两原因,一是因为原始数据维度过高,求出它的协方差矩阵后,对其求行列式,行列式会变成0(其实此时不是0,是一个非常非常小的数,计算机无法存放,所以为0),二是因为原始数据的数据内容并不纯净,PCA可以起到一个去除噪声的作用。
对测试集数据进行预测
for img_index in range(0, test_data.shape[0]):
determine_clf = [0]*3
ftr_data = test_data_pca.iloc[img_index]
for i in range(0, 3):
class_mean = train_cls_mean[i]
class_cov = train_cls_cov[i]
class_inv = train_cls_cov_inv[i]
class_det = train_cls_cov_det[i]
prob_temp = -(np.log(class_det)*0.5+0.5 * \
np.dot(np.dot((ftr_data-class_mean), class_inv), (ftr_data-class_mean).T))
prob_temp = prob_temp + np.log(prior_series[i+1])
determine_clf[i] = prob_temp
# 取出其中最大值的索引,即为我们的预测值
pred_label[img_index] = np.argmax(determine_clf) + 1
accu = sum(pred_label == test_data_label)/len(pred_label)
print("dimn:{0:3}-->accu:{1:.3f}".format(test_data_pca.shape[1], accu))
输出
dimn: 21-->accu:0.722
可以看到,降到21维后,准确率为72.2%。