[SDOI2012]Longge的问题

题面很简单，就是求$  \sum^{n}_{i=1} gcd(i,n) $

首先对所求式子进行变形

$$ \sum^{n}_{i=1} gcd(i,n)=\sum_{d|n} d*(\sum^n_{i=1}gcd(i,n)==d) $$

而$ \sum^n_{i=1} (gcd(i,n)==d)=\sum^{\frac{n}{d}}_{i=1} [gcd(i,\frac{n}{d})==1]=\varphi(\frac{n}{d}) $

求$ \varphi(\frac{n}{d}) $可以在$ O(logn) $的时间内完成

同时枚举n的约数也可以在$ O(logn) $的时间内完成

因此此问题得到了解决

#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define int long long
int n;

int phi(int x)
{
    int i,num=x,sum=0;
    for (i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if (x%i==0) num=num/i*(i-1);
        while (x%i==0) x/=i;
    }
    if (x>1) num=num/x*(x-1);
    return num;
}

signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    int i,ans=0;
    for (i=1;i*i<=n;i++)
    {
        if (n%i) continue;
        ans+=(i*phi(n/i));
        if (i*i!=n) ans+=(n/i*phi(i));
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}