集合论与图论 抄书内容

虽然期末小题极度崩盘但是还是发一下吧

基本上就是课件内容抄了一遍

二元关系

有序对与卡氏积

• 有序对$\langle a,b\rangle$, 也记作$(a,b)$
  • 有序$n$元组:$\langle a_1,\dots,a_n\rangle=\langle \langle a_1,\dots,a_{n-1}\rangle,a_n\rangle$
• $\langle a,b\rangle =\langle c,d\rangle \Leftrightarrow a=c\wedge b=d$
  • 推论: $\langle a,b\rangle \neq \langle b,a\rangle \Leftrightarrow a\neq b$
  • 对$n$元组有$\langle a_1,\dots,a_n\rangle=\langle b_1,\dots,b_n\rangle\Leftrightarrow a_i=b_i,\forall i=1,\dots, n$.
• 卡氏积: $A\times B = \{\langle a,b\rangle\mid x\in A\wedge y\in B\}$
  • 不满足交换律和结合律
  • 满足对$\cap$与$\cup$的左右结合律, 如$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.
  • $A\times B=\empty \Leftrightarrow A=\empty \vee B=\empty$.

二元关系

• $n$元关系: 元素均为有序$n$元组的集合.
  • $n=2$时元素均为有序对, 称为二元关系.
• 若$F$是二元关系, 则$\langle x,y\rangle\in F \Leftrightarrow x$与$y$具有$F$关系$\Leftrightarrow xFy$
  • 中缀$xFy$. 前缀$F(x,y), Fxy$. 后缀$\langle x,y\rangle \in F,xyF$.
• $P$是$A$到$B$的二元关系$\Leftrightarrow R\subseteq A\times B\Leftrightarrow R\in P(A\times B)$
  • 若$|A|=m,|B|=m$, 则$|P(A\times B)|=2^{mn}$, 即$A$到$B$的不同的二元关系有$2^{mn}$个.
• $A$上的特殊关系:
  • 空关系$\empty$.
  • 恒等关系$I_A={\langle x,x\rangle\mid x\in A }$.
  • 全域关系$E_A=A\times A=\{\langle x,y\rangle\mid x\in A,y\in A\}$.
  • 若$A\subseteq \mathbb{Z}$, 则可定义整除关系$D_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x|y\}$
  • 若$A\subseteq \mathbb{R}$, 则可定义
    • 小于等于关系$LE_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x\leq y\}$
    • 小于关系$L_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x<y\}$
    • 大于等于关系, 大于关系.
  • 包含关系$\subseteq_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\subseteq A\wedge y\subseteq A\wedge x\subseteq y\}$
  • 真包含关系$\subset_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\subseteq A\wedge y\subseteq A\wedge x\subset y\}$
• 定义域,值域,域: 对任意集合$R$有
  • 定义域$\mathrm{dom} R = \{x\mid \exist y(xRy)\}$.
  • 值域$\mathrm{ran} R=\{y\mid \exist x(xRy)\}$.
  • 域$\mathrm{fld} R= \mathrm{dom}\cup \mathrm{ran}R$.
• 对任意集合$F,G$有
  • 逆$F^{-1}=\{\langle x,y\rangle \mid yFx\}$.
  • 合成:
    • 顺序合成$F\circ G=\{\langle x,y\rangle \mid \exist z(xFz\wedge zGy)\}$.
    • 逆序合成$F\circ G=\{\langle x,y\rangle \mid \exist z(xGz\wedge zFy)\}$(默认)
    • 合成满足结合律: $(R_1\circ R_2)\circ R_3 = R_1 \circ (R_2\circ R_3)$.
  • $(F\circ G)^{-1}=G^{-1}\circ F^{-1}$.
• 对任意集合$F,A$可以定义:
  • 限制$F\uparrow A=\{\langle x,y\rangle \mid xFy\wedge x\in A\}$.
  • 象$F[A]=\mathrm{ran}(F\uparrow A)=\{y\mid \exist x(x\in A\wedge xFy)\}$.
• 对任意集合$F$可以定义
  • $F$是单根的$\Leftrightarrow\forall y(y\in F\to \exist ! x (x\in \mathrm{dom} F\wedge xFy))\Leftrightarrow (\forall y\in F)(\exist ! x\in \mathrm{dom} F)(xFy)$.
  • $F$是单值的$\Leftrightarrow\forall x(x\in \mathrm{dom}F\to \exist ! y (y\in \mathrm{ran} F\wedge xFy))\Leftrightarrow (\forall x\in \mathrm{dom} F)(\exist ! y\in \mathrm{ran} F)(xFy)$.

关系的表示和性质

• 关系矩阵: $A=\{a_1,\cdots,a_n\}, R\subseteq A\times A$, 则$R$的关系矩阵$M(R)=(r_{ij})_{n\times n}$, 其中$r_{ij}=[a_iRa_j]$.
  • $M(R^{-1})=(M(R))^T$.
  • $M(R_1\circ R_2)=M(R_2) \cdot M(R_1)$.
    • $\cdot$表示矩阵的逻辑乘, 加法为$\vee$, 乘法为$\wedge$.
• 关系图
  • 用$\circ$表示$A$中元素(顶点), 用$\to$表示$R$中元素(有向边)
  • 若$a_iRa_j$, 则从顶点$a_i$到$a_j$有边$\langle a_i,a_j\rangle$.
• 关系性质
  • 自反性: $\forall x(x\in A\to xRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)xRx$ .
    • $R$是自反的$\Leftrightarrow I_A\subseteq R \Leftrightarrow R^{-1}$是自反的$\Leftrightarrow M(R)$主对角线上的元素均为$1\Leftrightarrow G(R)$的每个顶点处均有环.
  • 反自反性: $\forall x(x\in A\to \neg xRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)\neg xRx$.
    • $R$是反自反的$\Leftrightarrow I_A\cap R = \empty \Leftrightarrow R^{-1}$是反自反的$\Leftrightarrow M(R)$主对角线上的元素均为$0\Leftrightarrow G(R)$的每个顶点处均无环.
    • 自反且反自反: $\empty$上的空关系.
  • 对称性: $\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\to yRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\to yRx]$.
    • $R$是对称的$\Leftrightarrow R^{-1}=R \Leftrightarrow R^{-1}$是对称的$\Leftrightarrow M(R)$对称$\Leftrightarrow G(R)$任何两个顶之间若有边, 则必有两条方向相反的有向边.
  • 反对称性: $\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\wedge yRx\to x = y)\Leftrightarrow (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\wedge yRx\to x=y]$.
    • $R$是反对称的$\Leftrightarrow R^{-1}\cap R\subseteq I_A \Leftrightarrow R^{-1}$是反对称的$\Leftrightarrow M(R)$中$\forall i\forall j(i\neq j\wedge r_{ij}=1\to r_{ji}=0)\Leftrightarrow G(R)$中$\forall a_i\forall a_j(i\neq j)$,若有有向边$\langle a_i,a_j\rangle$, 则必没有$\langle a_j,a_i\rangle$.
  • 传递性: $\forall x\forall y\forall z(x\in A\wedge y\in A\wedge z\in A\wedge xRy\wedge yRz\to xRz)\Leftrightarrow(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\forall z\in A)[xRy\wedge yRz\to xRz]$.
    • $R$是传递的$\Leftrightarrow R\circ R\subseteq R \Leftrightarrow R^{-1}$是传递的$\Leftrightarrow \forall i\forall j, M(R\circ R)(i,j)\leq M(R)(i,j)\Leftrightarrow G(R)$中$\forall a_i\forall a_j\forall a_k$, 若有有向边$\langle a_i,a_j\rangle$和$\langle a_j,a_k\rangle$, 则必有有向边$\langle a_i,a_k\rangle$.
  • 对$R_1,R_2\subseteq A\times A$

	自反	反自反	对称	反对称	传递
$R_1^{-1}, R_2^{-1}$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$
$R_1\cup R_2$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$
$R_1\cap R_2$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$
$R_1\circ R_2,R_2\circ R_1$	$\checkmark$
$R_1-R_2,R_2-R_1$		$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$
$\sim R_1,\sim R_2$			$\checkmark$

关系的幂运算和闭包

• 关系的$n$次幂 $$R^n=\begin{cases}I_A & n = 0\ R^{n-1}\circ R & n > 0\end{cases}$$
  • $R^{m+n}=R^m\circ R^n, (R^m)^n=R^{mn}$
• 关系的闭包
  • 自反闭包$r(R)$
    • $R\subseteq r(R)$
    • $r(R)$自反
    • $\forall S((R\subseteq S\wedge S{\text{自反}}\to r(R)\subseteq S)$
  • 对称闭包$s(R)$
  • 传递闭包$t(R)$.
  • 闭包运算保持$\subseteq$, 例$R_1\subseteq R_2\Rightarrow r(R_1)\subseteq r(R_2)$.
  • $r(R_1\cup R_2)=r(R_1)\cup r(R_2), s(R_1\cup R_2)=s(R_1)\cup s(R_2), t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)$.
  • $r(R)=R\cup I_A, s(R)=R\cup R^{-1},t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup \cdots$
  • $R$自反,则$r(R),s(R),t(R)$自反. $R$对称, 则$r(R),s(R),t(R)$对称. $R$传递, 则$r(R), t(R)$传递.
    • 取$R=\{\langle a,b\rangle\},s(R)=\{\langle a,b\rangle, \langle b,a\rangle\}$.则有$R$传递但$s(R)$非传递.
  • $rs(R)=sr(R),rt(R)=tr(R),st(R)\subseteq st(s(R))=sts(R)=s(ts(R)=ts(R)$.

等价关系与划分

• 等价关系
  • $R$自反,对称且传递
  • e.g. 对$R$依次求三种闭包共有6种不同的顺序. 其中有多少个等价关系?
    • 由于只有$st(R)\subseteq ts(R)$. 故只有$tsr(R)$与$str(R)$这两种. 它们都满足自反性与对称性, 但是只有$tsr(R)$满足传递性, 故只有$tsr(R)$是等价关系.
• 等价类
  • $R$是等价关系, 对$x\in A$, 有$x$关于$R$的等价类为$[x]_R=\{y\mid y\in A\wedge xRy\}$, 简称为$x$的等价类, 简记为$[x]$.
  • 性质
    • $[x]_R\neq \emptyset$.
    • $xRy\Rightarrow[x]_R=[y]_R$.
    • $\neg xRy\Rightarrow [x]_R\cap[y]_R=\emptyset$.
    • $\cup \{[x]_R\mid x\in A\}=A$.
• 商集
  • $R$是$A$上的等价关系, $A$关于$R$的商集为$A/R=\{[x]_R\mid x\in A\}$.
• 划分
  • $\cal{A}\subseteq P(A)$是$A$的划分当且仅当
    • $\emptyset\notin \cal{A}$.
    • $\forall x,y(x,y\in\cal{A}\wedge x\neq y\Rightarrow x\cap y=\emptyset)$.
    • $\cup\cal{A}=A$.
  • $\cal{A}$中元素被称为划分块.
  • $R$是$A$的等价关系$\Rightarrow A/R$是$A$的划分.
  • $\cal{A}$是$A$的划分$\Rightarrow$同块关系$R_{\cal{A}}(xR_{\cal{A}}y)\Rightarrow \exists z(z\in\cal{A}\wedge x\in z\wedge y\in z)$.是$A$上的等价关系.
  • 计数: 第二类Stirling数.
  • 划分加细: $\cal{A},\cal{B}$都是$A$的划分,若$A$的每个划分块都含于$\cal{B}$的某个划分块中, 则称$\cal{A}$为$\cal{B}$的加细.

序关系

• 若$R$自反,反对称,传递,则称$R$为$A$上的偏序关系,用$\preccurlyeq$表示.称$\langle A,\preccurlyeq\rangle$为偏序集.
• 设$\langle A,\preccurlyeq\rangle$为偏序集,$x,y\in A$.
  • 若$x\preccurlyeq y\vee y\preccurlyeq x$, 则称$x$与$y$可比.
  • 若$x$与$y$可比且不相等,则称$x$严格小于$y$.即$x\preccurlyeq y\wedge w\neq y\Leftrightarrow x\prec y$
  • 若$x\prec y$,且不存在$z$使得$x\prec z,z\prec y$, 则称$y$覆盖$x$.
  • 哈斯图:
    • 用顶点表示$A$中元素.
    • $x$与$y$之间有无向边当且仅当$y$覆盖$x$, 此时$y$在$x$上方.
• 全序关系: $\langle A,\preccurlyeq\rangle$中任意$x,y$都可比, 则$\preccurlyeq$为$A$上的全序关系, $\langle A,\preccurlyeq\rangle$为全序集.
  • 充要条件: 哈斯图为一条直线.
• 拟序关系: 若$R$是反自反,传递(反对称), 则称$R$是$A$上的拟序关系, 用$\prec$表示.
  • 反自反和传递可以推出反对称.
  • $x\prec y,x=y,y\prec x$至多有一个成立.
  • $(x\prec y\vee x=y)\wedge (y\prec x\vee x=y)\Rightarrow x=y$
• 若$\preccurlyeq$是偏序关系, $\prec$是拟序关系,则
  • $\prec$反对称
  • $\preccurlyeq-I_A$是拟序关系
  • $\prec \cup I_A$是偏序关系
• 三歧性与拟线序:$\prec$是拟序关系,若$x\prec y,x=y,y\prec x$中有且仅有一式成立,则称$\prec$具有三歧性,$\prec$为$A$上的拟线序关系, $\langle A,\prec\rangle$为拟线序集.
• 最大元与最小元: $y\in B$为$B\subseteq A$的最大元等价于$\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$, 最小元定义类似.
• 极大元与极小元: $y\in B$是$B\subseteq A$的极大元等价于$\forall x(x\in B\wedge y\preccurlyeq x\to x=y)$
• 上界与下界: $y\in A$为$B\subseteq A$的最大元等价于$\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$
  • $C$为$B$的所有上界构成的集合, 则$C$的最小元被称为$B$的最小上界, 或上确界. 同样可以定义下确界为最大下界.
• 偏序集的链与反链
  • $B$是$A$中的的链当且仅当$\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\to x$与$y$可比$)$.
  • $B$是$A$中的反链当且仅当$\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\wedge x\neq y\to$x与y不可比).
  • 用$|B|$表示(反)链的长度.
  • 若最长链的长度为$n$则
    • $A$中存在极大元
    • $A$中存在$n$个划分块的划分使得每个划分块都是反链.
  • 推论: 若对偏序集$A$有$|A|=mn+1$, 则$A$中要么存在长为$m+1$的反链,要么存在长度为$n+1$的链.
• 良序关系: 对(拟)全序集$A$, 若$A$的任何非空子集$B$均有最小元,则$\prec$为$A$上的良序关系, $\langle A,\prec\rangle$为良序集.

函数

• 函数与映射: 单值的二元关系
  • $\forall x\in \mathrm{dom}F, \forall y,z\in \mathrm{ran}F, xFy\wedge yFz\to y=z$
• 偏函数: $F$是$A$到$B$的偏函数当且仅当$\mathrm{dom}F\subseteq A\wedge\mathrm{ran}F\subseteq B$. 其中$A$称为$F$的前域.
  • 偏函数记作$F:A \mapsto B$, $A$到$B$的全体偏函数记为$A\mapsto B=\{F\mid F:A\mapsto B\}\subseteq P(A\times B)$.
• 全函数$\mathrm{dom}F=A$, 记作$F:A\to B$, $A$到$B$的全体全函数记为$B^A$.
  • $|B^A|=|B|^{|A|}$
  • $|A|=\emptyset$时$B^A=\{\emptyset\}$.
  • $A\neq\emptyset\wedge B=\emptyset$时,$B^A=\emptyset$.
• 真偏函数: 不是全函数的偏函数
• 全函数性质:
  • 单射: $F$是单根的.
  • 满射: $\mathrm{F}=B$.
  • 双射, 一一对应: $F$既是单射又是满射.
  • 设$|A|=n,|B|=m$.
    • $n<m$时, 无满射和双射, 单射个数为$\frac{m!}{(m-n)!}$.
    • $n>m$时, 无单射和双射, 满射个数为$m!{n\brace m}$
• $f:A\to B,A'\subseteq A, B'\subseteq B$.
  • $A'$的象是$f(A')=\{y\mid \exists x(x\in A'\wedge f(x)=y)\}\subseteq B$.
  • $B'$的原象是$f^{-1}(B')=\{x\mid \exist y (y\in B'\wedge f(x)=y)\}\subseteq A$
• 特殊函数
  • 常数函数: $f:A\to B, \exist b\in B, \forall x\in A,f(x)=b$.
  • 恒等函数:$I_A: A\to A,I_A(x)=x$.
  • 特征函数$\chi_A:E\to\{0,1\},\chi_A(x)=1\Leftrightarrow x\in A$.
• 单调函数: $\langle A,\leq_A\rangle, \langle B,\leq_B\rangle$是偏序集.
  • 单调增: $\forall x,y\in A, x\leq_A y\Rightarrow f(x)\leq_B f(y)$.
  • 单调减
  • 严格单调: $\leq\to <$.
• 自然映射: $R$为$A$上的等价关系, 自然映射$f: A\to A/R, f(x)=[x]_R$.
  • 当$R=I_A$时, $f$是单射.
• 设$g:A\to B, f:B\to C$, 则$f\circ g:A\to C, f\circ g(x)=f(g(x))$.
  • 若$f,g$为满/单/双射, 则$f\circ g$也是满/单/双射.
  • 若$f\circ g$为满射, 则$f$是满射.若$f\circ g$为单射, 则$g$是单射.若$f\circ g$为双射,则以上两点均满足.
• $f=f\circ I_A=I_B\circ f$.
• $f,g$单调增(减), 则$f\circ g$单调增.
• $A$为集合, $A^{-1}$为函数$\Leftrightarrow A$为单根的.
• 反函数: $f:A\to B$且$f$为双射, 则$f^{-1}:B\to A$也为双射, 称为$f$的反函数.
• 单边逆: $f:A\to B,g:B\to A$
  • $g$是$f$的左逆$\Leftrightarrow g\circ f = I_A$.
  • $g$是$f$的右逆$\Leftrightarrow f\circ g=I_B$
  • $f$存在左逆$\Leftrightarrow f$是单射.
  • $f$存在右逆$\Leftrightarrow f$是满射.
  • $f$存在左逆,右逆$\Leftrightarrow f$是双射$\Leftrightarrow f$的左逆与右逆相等.

自然数的定义

• Peano系统: $\langle M,F,e\rangle, F:M\to M$
  • $e\in M$
  • $M$在$F$下封闭
  • $e\notin\mathrm{ran}F$
  • $F$是单射
  • $A\subseteq M\wedge e\in a\wedge A$在$F$下封闭$\Rightarrow A=M$(极小性公理)
• 后继: $A^+=A\cup\{A\}$
  • $A\subseteq A^+\wedge A\in A^+$
• 归纳集
  • $\emptyset\in A$
  • $\forall x(x\in A\to x^+\in A)$
• 自然数: 属于每个归纳集的集合
  • 记号: $0=\emptyset, n=\{0,1,\dots, n-1\}$
• 自然数集$N$: 包含于每个归纳集的集合
  • $N$是归纳集
  • 定义后继函数$\sigma(n)=n^+$,则$\langle N,\sigma,0\rangle$是Peano系统
• 数学归纳法
  • 目标: 证明$\forall n, P(n)$为真
  • 步骤
    • 构造$S=\{n\mid n\in N\wedge P(n)\}$
    • 证明$S$是归纳集
• 任何自然数的元素均为它的子集
• $\forall n,m\in N, m^+\in n^+\Leftrightarrow m\in n$
• 任何自然数都不是自己的元素
• $\emptyset$属于除0以外的任何自然数
• 三歧性: $\forall n,m\in N, m\in n,m=n,n\in m$中恰有一式成立.

自然数的性质

• 传递集: $A$为传递集$\Leftrightarrow A$的元素的元素还是$A$的元素$\Leftrightarrow \forall x\forall y(x\in y\wedge y\in A\to x\in A)$
  • 等价条件
    • $\cup A\subseteq A$
    • $\forall x(x\in A\to x\subseteq A)$
    • $A\subseteq P(A)$
  • $A$为传递集$\Leftrightarrow P(A)$为传递集
  • $A$为传递集$\Rightarrow \cup(A^+)=A$
  • 每个自然数都是传递集, 自然数集$N$是传递集
• 递归定理: $A$为集合, $a\in A, F:A\to A$, 则存在唯一函数$h:N\to A$使得$h(0)=a$且$\forall n\in N, h(n^+)=F(h(n))$
• 加法
  • 一元函数"加m": $m$固定, $A_m:N\to N, A_m(0)=m,A_m(n^+)=(A_m(n))^+$.
  • 二元函数加法: $+:N\times N\to N, m+n=A_m(n)$
  • 性质: 单位元, 交换律, 结合律, 单位元
• 乘法
  • 乘m: $m$固定, $M_m: N\to N, M_m(0)=0, M_m(n^+)=M_m(n)+m$.
  • 乘法$\cdot:N\times N\to N, m\cdot n=M_m(n)$
  • 性质: 单位元, 交换律, 结合律, 消去律, 分配律
• 序
  • 属于等于(线序, 良序)

集合的等势, 有穷集与无穷集

• 集合$A$与集合$B$等势: $\exist$双射$f:A\to B$, 记作$A\approx B$
• 例子
  • $Z\approx N$
  • $N\times N\approx N$
  • $Q\approx N$
  • $(0,1)\approx R$
  • $[0,1]\approx (0,1)$
  • $P(A)\approx 2^A = A\to 2$
    • $2^A=\{0,1\}^A=A\to\{0,1\}=\{f:f\to 2\}$
• 等势关系是等价关系
• Cantor定理
  • $N\not\approx R$
  • $\forall A, A\not\approx P(A)$
• 有穷集与无穷集
  • 有穷集: 与某个自然数等势的集合
    • 不存在与某个自己的真子集等势的自然数
    • 推论: 有穷集不能与自身真子集建立双射, 且任何有穷集均与唯一自然数等势
    • 有穷集的子集任为有穷集
  • 无穷集: 不与某个自然数等势的集合, 可以与自身真子集建立双射

基数与基数的比较和运算

• 基数的定义:
  • $\mathrm{card} A=\mathrm{card} B\Leftrightarrow A\approx B$
  • 对有穷集$A$,$\mathrm{card} A=n\Leftrightarrow A\approx n$
  • 对自然数集$N$, $\mathrm{card} N=\aleph_0$
  • 对实数集$R$, $\mathrm{card} R=\aleph_1=\aleph$
  • $0,1,\dots,\aleph_0,\aleph$均为基数
    • $0,1,\dots$为有穷基数, $\aleph_i$为无穷基数
    • 若$\mathrm{card}A=\aleph_i$, 则$\mathrm{card} P(A)=\aleph_{i+1}$
  • 若$\kappa$为基数, 则$K_\kappa=\{x\mid \mathrm{card}x=\kappa\}$
    • $\kappa\neq 0$时, $K_\kappa$不是集合, 是类
• 优势$\succcurlyeq\cdot$, 劣势, 绝对优势, 绝对劣势
  • $A\preccurlyeq\cdot B\Leftrightarrow\exist C\subseteq B,A\approx C$
  • $A\preccurlyeq\cdot A$
  • $A\preccurlyeq\cdot B\wedge B\preccurlyeq\cdot C\Rightarrow A\preccurlyeq\cdot C$
  • 若$A\preccurlyeq\cdot B\wedge C\preccurlyeq\cdot D\Rightarrow$
    • 当$B\cap D=\emptyset$时, $A\cup C\preccurlyeq\cdot B\cup D$
    • $A\times C\preccurlyeq\cdot B\times D$
• 基数的比较
  • 若$\mathrm{card}A=\kappa, \mathrm{card}B=\lambda$
    • $\kappa\leq\lambda\Leftrightarrow A\preccurlyeq\cdot B$
    • $\kappa<\lambda\Leftrightarrow A\prec\cdot B$
  • $0<\kappa, n\leq\aleph_0$
  • $\mathrm{card}A<\mathrm{card}P(A)$
  • Schröder-Bernstein定理
    • $A\preccurlyeq\cdot B\wedge B\preccurlyeq\cdot A\Rightarrow A\approx B$
    • $\kappa\leq\lambda\wedge\lambda\leq\kappa\Rightarrow \kappa=\lambda$
  • $R\approx (N\to 2)=2^N$
  • 可数集: $\mathrm{card}A\leq\aleph_0$
• 基数运算
  • 定义: $\mathrm{card}K=\kappa,\mathrm{card}L=\lambda$
    • $\kappa+\lambda=\mathrm{card}(K\cup L)(K\cap L=\emptyset)$
    • $\kappa\times\lambda=\mathrm{card}(K\times L)$
    • $\kappa^\lambda=\mathrm{card}(L\to K)$
  • $2^{\mathrm{card}A}=\mathrm{card}P(A)$
    • $\kappa<2^\kappa$
  • $\kappa,\lambda,\mu$为基数
    • $\kappa+\lambda=\lambda+\kappa$
    • $(\kappa+\lambda)+\mu=\kappa+(\lambda+\mu)$
    • $\kappa \cdot(\lambda+\mu)=\kappa\cdot\lambda+\kappa\cdot\mu$
    • $\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\cdot\kappa^\mu$
    • $(\kappa\cdot\lambda)^\mu=\kappa^\mu\cdot\lambda^\mu$
    • $(\kappa^\lambda)^\mu=\kappa^{\lambda\cdot\mu}$
  • $\kappa\leq\lambda$
    • $\kappa+(\cdot)\mu\leq\lambda+(\cdot)\mu$
    • $\kappa^\mu\leq\lambda^\mu$
    • $\mu^\kappa\leq\mu^\lambda(\kappa\neq 0\vee\mu\neq 0)$
  • 对无穷基数$\kappa$
    • $\kappa\cdot\kappa=\kappa$
    • $\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=\max(\kappa,\lambda)$
      • 推论:$\kappa+\kappa=\kappa\cdot\kappa=\kappa$
    • $\kappa^\kappa=2^\kappa$

图的基本概念

• 可图化充要条件: $2|d_1+\cdots+d_n$
• 可简单图化充要条件:
  • Haval定理: 若有$2|d_1+\cdots+d_n, n-1\geq d_1\geq\cdots\geq d_n\geq 0$, 则可简单图化$\Leftrightarrow d'=(d_2-1,d_3-1,\cdots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\cdots,d_n)$可简单图化.
  • 若有$n-1\geq d_1\geq\cdots\geq d_n\geq 0$, 则可简单图化$\Leftrightarrow 2|d_1+d_2+\cdots+d_n$且对$1\leq r\leq n-1(n)$有$d_1+d_2+\cdots+d_r\leq r(r-1)+\min(r,d_{r+1})+\cdots+\min(r,d_n)$
• 子图: $G'\subseteq G$, 真子图, 生成子图$G'\subseteq G\wedge V'=V$
• 导出子图$G[V_1]$: $V_1\subset V, E_1=E\cap (V_1 \& V_1)$;$G[E_1]$
• $G-e,G-E',G-v,G-V'$
• G\e: 删除$e$, 合并$u$与$v$
• $G\cup(u,v)$: 在$u$与$v$之间加新边
• 联图: $G_1+G_2=\langle V_1\cup V_2, E_1\cup E_2\cup (V_1\& V_2)\rangle$
• 积图: $G_1\times G_2=\langle V_1\times V_2,E\rangle, E=\{(\langle u_i,u_j\rangle, \langle u_k,u_s\rangle)\mid (u_i=u_k\wedge \langle u_j,u_s\rangle\in E_2)\vee(u_j=u_s\wedge\langle u_i,u_k\rangle\in E_1)\}$

通路与回路

• 通路: 顶点与边的交替序列; 回路
  • 简单: 没有重复边
  • 复杂: 有重复边
  • 初级: 没有重复顶点(路径, 圈)
  • $G$为含圈的无向简单图, 最长圈的长度$c(G)$, 最短圈的长度$g(G)$
• 在$n$阶图$G$中. 若从不同顶点$v_i$到$v_j$有通路, 则从$v_i$到$v_j$有长度小于等于$n-1$的通路(初级通路)

无向图的连通性

• 连通数$p(G)$
• 弱连通: 有向图的基图是连通图
• 竞赛图一定有路径经过每个顶点恰好一次
• 有向图$D$强连通$\Leftrightarrow D$中有回路(不一定是简单回路)过每个顶点至少一次; 单向连通$\Leftrightarrow D$中有通路(不一定是简单通路)过每个顶点至少一次

无向图的连通度

• 点割集$V'$: $\empty\neq V'\subset V,p(G-V')>p(G),\forall V''\subset V',p(G-V'')=p(G)$
• 割点$v$: $\{v\}$是割集
• 边割集$E'$: $\empty\neq E'\subset E,p(G-E')>p(G),\forall E''\subset E',p(G-E'')=p(G)$
  • $p(G-E')=p(G)+1$
• 割边$(u,v)$: $\{(u,v)\}$是边割集
• $I_G(v)$不一定满足边割集的极小性条件, $I_G(v)$是边割集$\Leftrightarrow v$不是割点.
  • 扇形割集$E'\subseteq I_G(v)$
• 点连通度: $\kappa(G)=\min\{|V'|\mid V'$是点割集$\}$
  • 规定$\kappa (K_n)=n-1$, 非连通图$\kappa(G)=0$
• 边连通度: $\lambda(G)=\min\{|E'|\mid E'$是边割集$\}$
  • 若$E'$是非完全图$G$的最小边割集, $G-E'$的两个连通分支为$G_1,G_2$, 则$\exist u\in G_1,v\in G_2,(u,v)\notin E(G)$
• k-连通图: $\kappa(G)\geq k$; k-边连通图: $\lambda(G)\geq k$
• Whitney定理: $\kappa(G)\leq\lambda(G)\leq\delta(G)$
• Menger定理: 最小的x-y割包含的顶点数=最大的x-y独立路径的条数
• 3阶以上的无向简单连通图G是2(k)-(边)连通图
  • 任两顶点共圈
  • 任两顶点之间有2(k)条以上独立路径(边不交路径)
• 块: 极大无割点连通子图
  • 任意两顶点共圈
  • 任意一顶点与任意一边共圈
  • 任意两边共圈
  • 任意2顶点与任意1边, 有路径连接这2顶点并经过这1边
  • 任意3顶点, 有路径连接其中2个并经过第三个
  • 任意3顶点, 有路径连接其中2个并不经过第三个
• 2-连通$\subset$块, 2-边连通$\neq$ 块
• $\kappa,\lambda,\delta$仅有以下三种关系:
  • $\kappa=\lambda=\delta=n-1$
  • $1\leq 2\delta-n+2\leq\kappa\leq\lambda=\delta\leq n-2$
  • $0\leq\kappa\leq\lambda\leq\delta\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$
• G是n阶无向简单连通图, $\lambda\leq\delta$, 则存在$G^*$以G为生成子图, 其由$K_{n_1},K_{n_2}$以及它们之间的$\lambda(G)$条边组成,$\lambda(G)+2\leq n_1\leq \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$
  • $\delta(G)\leq\delta(G^*)\leq n_1-1\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$
  • $G^*$中有不相邻顶点$u,v$使得$d_{G^*}(u)+d_{G^*}(v)\leq n-2$.
  • $d(G)\geq d(G^*)\geq 3$
• $G$是6阶以上的无向简单连通图
  • $\delta(G)\geq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\Rightarrow\lambda(G)=\delta(G)$
  • $\forall$不相邻$u,v$均有$d(u)+d(v)\geq n-1\Rightarrow\lambda(G)=\delta(G)$
  • $d(G)\leq 2\Rightarrow \lambda(G)=\delta(G)$
• G是n阶简单连通无向非完全图, 则$2\delta-n+2\leq\kappa$

欧拉图与哈密顿图

• 欧拉通路, 欧拉图

  • 欧拉通路: 经过图中所有边的简单路
  • 半欧拉图: 有欧拉通路的图
  • 欧拉回路: 经过图中所有边的简单回路
  • 欧拉图: 有欧拉回路的图

• $G$为无向连通图, 以下条件等价:

  • $G$是欧拉图
  • $G$中所有顶点都是偶数度
  • $G$是若干个边不相交的圈的并

• $G$为无向连通图, $G$为半欧拉图$\Leftrightarrow G$中恰有两个2奇度顶点.

• $G$为有向连通图, 则以下条件等价

  • $G$是欧拉图
  • $\forall v\in V(G), d^+(v)=d^-(v)$
  • $G$是若干个边不交有向圈的并

• $G$为有向连通图, $G$为半欧拉图$\Leftrightarrow G$中恰有两个2奇度顶点, 其中一个入度比出度大一, 另一个出度比入度大一, 其与顶点入度等于出度.

• Fleury算法: 从任意一点开始, 沿着没有走过的边向前走. 在每个顶点, 优先选择剩下的非桥边, 除非只剩下唯一一条边. 直到得到欧拉回路或宣布失败.

• 逐步插入回路算法: 每次求出一条简单回路, 把新求出的回路插入老回路, 合并成一个更大的回路, 直到得到欧拉回路或宣布失败.

• 哈密顿通路, 哈密顿图

  • 哈密顿通路: 经过图中所有顶点的初级路
  • 半哈密顿图: 有哈密顿通路的图
  • 哈密顿回路: 经过图中所有顶点的初级回路
  • 哈密顿图: 有哈密顿回路的图

• 无向哈密顿图的必要条件: $\forall V_1\subsetneqq V,V_1\neq\empty$, 有$p(G-V_1)\leq |V_1|$.

  • 非充分条件: Petersen图, 为半哈密顿图.

• 无向半哈密顿图的必要条件: $\forall V_1\subsetneqq V,V_1\neq\empty$, 有$p(G-V_1)\leq |V_1|+1$.

• 无向半哈密顿图的充分条件: $|V(G)|\geq 2, \forall u,v\in V(G)$且$u,v$不相邻, 有$d(u)+d(v)\geq n-1$.

• 无向哈密顿图的充分条件:

  • $|V(G)|\geq 3, \forall u,v\in V(G)$且$u,v$不相邻, 有$d(u)+d(v)\geq n$.
  • $|V(G)|\geq 3, \forall u\in V(G)$, 有$d(u)\geq \frac{n}{2}$.

• 设$u,v$是无向$n$阶简单图$G$中两个不相邻顶点, 且$d(u)+d(v)\geq n$, 则$G$为哈密顿图$\Leftrightarrow G\cup (u,v)$是哈密顿图.

• 有向半哈密顿图的充分条件: $D$是$n$阶竞赛图, 则$D$是半哈密顿图.

  • 推论: 设$D$是$n$阶有向图, 若$D$含有$n$阶竞赛图作为子图, 则$D$是半哈密顿图.

• 有向哈密顿图的充分条件: 强连通的竞赛图是哈密顿图.

• $K_{2k+1}(k\geq 1)$中同时有$k$条边不重的哈密顿回路, 且这$k$条边不重的哈密顿回路含有$K_{2k+1}$中的所有边.

  • 推论: 完全图$K_{2k}(k\geq 2)$中同时有$k-1$条边不重的哈密顿回路,除此之外, 剩下的是$k$条彼此不相邻的边.

树, 生成树

• 树: 连通无回路的图
  • 树叶: 树中1度顶点
  • 分支点: 树中2度以上顶点.
  • 平凡树: 无树叶, 无分支点
  • 森林: 无回图
    • 森林的每个连通分支都是树
• $G=\langle V,E\rangle$是$n$阶$m$边无向图, 则以下条件等价:
  • $G$是树
  • $G$中任意两个顶点之间有唯一路径
  • $G$无圈$\wedge n=m-1$
  • $G$连通$\wedge n=m-1$
  • $G$极小连通: 连通$\wedge$所有边是桥
  • $G$极大无回: 无圈$\wedge$增加任何新边产生唯一圈
• 非平凡树中至少有两个树叶
• 星: $S_n = K_{1,n-1}$
• 生成树: $T\subseteq G\wedge V(T)=V(G)\wedge T$是树
  • 树枝: $e\in E(T)$, 共$n-1$条
  • 弦: $e\in E(G)-E(T)$, 共$m-n+1$条
  • 余树: $G[E(G)-E(T)]=\overline{T}$
• 无向图$G$连通$\Leftrightarrow G$有生成树
  • $G$是$n$阶$m$边无向连通图$\Leftrightarrow m\geq n-1$
  • $T$是$G$的生成树, 则$|E\overline{T}|=m-n+1$
  • $T$是无向连通图$G$的生成树, $C$是$G$中的圈, 则$E(\overline{T})\cap E(C)\neq\emptyset$
  • $T$是无向连通图$G$的生成树, $S$是$G$中割集, 则$E(T)\cap S\neq\emptyset$.
• $G$为连通图, $T$是$G$的生成树, $e$是$T$的弦, 则$T\cup e$中存在由$e$和其它树枝组成的圈, 并且不同的弦对应不同的圈.
• $G, T, \overline{T}=\{e_1',e_2',\cdots,e_{m-n+1}'\}$
  • 基本回路: $T\cup e_r'$中的唯一回路$C_r$.
  • 基本回路系统: $\{C_1,C_2,\cdots,C_{m-n+1}\}$
  • 圈秩$\xi(G)=m-n+1$
• $G$为连通图, $T$是$G$的生成树, $e$是$T$的树枝, 则$G$中存在由树枝$e$和其它弦组成的割集, 并且不同的树枝对应不同的割集.
• $G, T, T=\{e_1,e_2,\cdots,e_{n-1}\}$
  • 基本割集: $e_r$中的唯一割集$S_r$.
  • 基本割集系统: $\{S_1,S_2,\cdots,S_{n-1}\}$
  • 割集秩$\eta (G)=n-1$
• 生成树的计数
  • $\tau(G)$: 标定图$G$的生成树个数
  • $G-e$: 删除; $G \backslash e$ 收缩
  • $\forall e$非环边. $\tau(G)=\tau(G-e)+\tau(G\backslash e)$
  • Cayley公式: $n\geq 2, \tau(K_n)=n^{n-2}$

图的矩阵表示

• $D=\langle V,E\rangle$为无环有向图, $V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}$. 关联矩阵$M(D)=[m_{ij}]_{n\times m}$, $$m_ij=\begin{cases} 1 & v_i是e_j的起点 \ 0 & v_i与e_j不关联 \ -1 & v_i是e_j的终点 \end{cases}$$
  • $\sum_{i=1}^n m_{ij}=0$
  • $d(v_i)=\sum_{j=1}^m m_{ij}$
  • 握手定理: $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m m_{ij}=0$
• $G=\langle V,E\rangle$为无环无向图, $V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}$. 关联矩阵$M(G)=[m_{ij}]_{n\times m}$, $$m_ij=\begin{cases} 1 & v_i是e_j的关联 \ 0 & v_i与e_j不关联 \end{cases}$$
  • $\sum_{i=1}^n m_{ij}=2$
  • $d(v_i)=\sum_{j=1}^m m_{ij}$
  • 每行所有$1$对应的边构成断集($v_i$的关联集)
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支
• $G$连通$\Rightarrow r(M(G))=n-1$
• $D=\langle V,E\rangle$为无环无向图, $V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}$.
  • 参考点: 任意一个顶点
  • 基本关联矩阵: 从$M(G)$中删除参考点所对应的行, 记作$M_f(G)$.
  • $G$连通$\Leftrightarrow r(M(G))=r(M_f(G))=n-1$
  • 求生成树: $M_f'$是$M_f(G)$中任意$n-1$列组成的方阵, $M_f'$中各列对应的边集为$\{e_{i1},\cdots, e_{i(n-1)}\}$, 则$T$是$G$的生成树$\Leftrightarrow M'f$的行列式$|M'_f|\neq 0$
• $D=\langle V,E\rangle$是有向图, $V=\{v_1,\cdots, v_n\}$.邻接矩阵$A(D)=[a_{ij}]_{n\times n}$, $a_{ij}=$从$v_i$到$v_j$的边数.
  • $\sum_{j=1}^na_{ij}=d^+(v_i)$
  • $\sum_{i=1}^na_{ij}=d^-(v_j)$
  • $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}=m$
  • 环个数$\sum_{i=1}^na_{ii}$.
  • 记$A(D)=A=[a_{ij}]_{n\times n}, A^r=A^{r-1}\cdot A, A^r=[a_{ij}^{(r)}]_{n\times n}, B_r=A+A^2+\cdots + A^r=[b_{ij}^{(r)}]_{n\times n}$.
    • $a_{ij}^{(r)}$为从$v_i$到$v_j$长度为$r$的通路; $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}^{(r)}$为长度为$r$的通路总数; $\sum_{i=1}^n a_{ii}^{(r)}$为长度为$r$的回路总数.
    • $b_{ij}^{(r)}$为从$v_i$到$v_j$长度$\leq r$的通路; $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}^{(r)}$为长度$\leq r$的通路总数; $\sum_{i=1}^n b_{ii}^{(r)}$为长度$\leq r$的回路总数.
• $D=\langle V,E\rangle$是有向图, $V=\{v_1,\cdots, v_n\}$.可达矩阵$P(D)=[p_{ij}]_{n\times n}$, $p_{ij}=$[从$v_i$可达$v_j$].
  • 主对角线元素均为1
  • 强连通图: 所有元素均为1
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支的可达矩阵
  • $\forall i\neq j, p_{ij}=1\Leftrightarrow b^{n-1}_{ij}>0$
• $G=\langle V,E\rangle$是无向简单图, $V=\{v_1,\cdots, v_n\}$.相邻矩阵$A(G)=[a_{ij}]_{n\times n}$, $a_{ij}=$[$v_i$与$v_j$相邻且$i\neq j$].
  • 对称矩阵$a_{ij}=a_{ji}$.
  • $\sum_{i=1}^n a_{ij}=d(v_j)$
  • $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}=2m$
  • 记$A(G)=A=[a_{ij}]_{n\times n}, A^r=A^{r-1}\cdot A, A^r=[a_{ij}^{(r)}]_{n\times n}, B_r=A+A^2+\cdots + A^r=[b_{ij}^{(r)}]_{n\times n}$.
    • $a_{ij}^{(r)}$为从$v_i$到$v_j$长度为$r$的通路; $\sum_{i=1}^n a_{ii}^{(r)}$为长度为$r$的回路总数.
      • $a_{ii}^{(2)}=d(v_i)$
      • $G$连通$\Rightarrow$距离$d(v_i,v_j)=\min\{r\mid a_{ij}^{(r)}\neq 0\}$
• $G=\langle V,E\rangle$是无向简单图, $V=\{v_1,\cdots, v_n\}$.连通矩阵$P(G)=[a_{ij}]_{n\times n}$, $a_{ij}=$[$v_i$与$v_j$连通].
  • 主对角线元素均为1
  • 连通图: 所有元素均为1
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支的连通矩阵
  • $\forall i\neq j, p_{ij}=1\Leftrightarrow b^{n-1}_{ij}>0$

平面图

• 平面图: 在平面上边与边不在非顶点处相交的图
• 可平面图: 可以画在平面上,使得边与边不在非顶点处相交的图
• 平面嵌入: 画在平面上,使得边与边不在非顶点处相交
  • 球面嵌入, 曲面嵌入
  • 可球面嵌入$\Leftrightarrow$可平面嵌入
• 面
  • 区域: 不含顶点与边的极大连通曲面$R$
  • 外部区域: 面积无限的区域$R_0$
  • 区域边界: 与$R$关联的边与顶点构成的子图$\partial R$
  • 面: 区域及其边界
    • 外部面: 面积无限的面; 内部面
    • 任何平面嵌入的内部面都可以在另一种平面嵌入下成为外部面
  • 面的次数: $\deg(R)=$边界长度
    • $\sum_{i=1}^r\deg(R_i)=2m$
• 极大平面图: 简单平面图, 在任意两点间不相邻顶点间连边就是非平面图
  • $n(n\geq 3)$阶简单连通平面图是极大平面图$\Leftrightarrow \forall R,\deg(R)=3$, 此时$2m=3r$.
• 极小非平面图: 是非平面图, 但任意删去一条边就是平面图
• 欧拉公式: 设$G$是连通平面图, 则$n-m+r=2$, 其中$r$为$G$的面数.
  • 推广形式: $2\to p+1$, $p$为连通分支数
• 设$G$为连通平面图, $G$的各面次数至少是$l(l\geq 3)$, 则$m\leq (n-2)\frac{l}{l-2}$
  • $m\leq (n-p-1)\frac{l}{l-2}$
  • $K_3,K_{3,3}$均不是平面图
• Jordan定理
  • Jordan曲线: 自身不相交的封闭曲线
  • Jordan曲线将平面分为两部分, 连接内部与外部点的任意曲线必然与Jordan曲线相交
• 对简单平面图$G$有$m\leq 3n-6$, $G$极大时取等.
• 对简单平面图$G$, $\delta(G)\leq 5$
• 同胚
  • 插入2度顶点: $(u,v)\to (u,w),(w,v)$
  • 删除2度顶点: $\deg(w)=2,(u,w)(w,v)\to(u,v)$
  • 同胚: 反复插入或删除2度顶点后图同构
• Kurartowski定理: $G$为平面图$\Leftrightarrow G$没有与$K_5$或$K_{3,3}$同胚的子图$\Leftrightarrow G$没有可以边收缩到$K_5$或$K_{3,3}$的子图.
• 对偶图
  • 平面图$G=\langle V,E\rangle$, 面集合为$R$
  • 对偶图$G^*=\langle V^*,E^*\rangle$, 面集合为$R^*$
  • $V^*$与$R$,$E^*$与$E$一一对应
  • 性质
    • 连通平面图
    • 环与桥互相对偶
    • $n^*=r,m^*=m$
    • $r^*=n-p+1(n-m+r=1+p,n^*-m^*+r=2)$
    • $d_{G^*}(V_i^*)=\deg_G(R_i)$
    • $G_1\cong G_2$不一定能推出$G_1^*\cong G_2^*$
    • $G$连通$\Leftrightarrow G\cong G^{**}$
    • 自对偶图: $G\cong G^*$
      • 轮图(正$n-1$边形中有一点同时连向$n-1$个点)为自对偶图
• 外平面图: 平面图的所有点可都在一个面的边界上
  • 充要条件: $G$为外平面图$\Leftrightarrow G$没有与$K_4$或$K_{2,3}$同胚的子图
  • 极大外平面图
    • $n$阶外平面图, 所有顶点均在外部面边界上,则$G$为极大外平面图$\Leftrightarrow G$外部面边界为$n-$圈, 所有内部边界为$3-$圈
    • 必要条件: 所有顶点均在外部面边界上
      • $G$有$n-2$个外部面
      • $m=2n-3$
      • 至少有三个顶点度数$\geq 3$
      • 至少有两个顶点度数$=2$
      • 点连通度$\kappa=2$
• Tait猜想: 3连通3正则的平面图都是哈密顿图
• 平面哈密顿图充分条件(Tutte定理): 4连通平面图是哈密顿图
• 平面哈密顿图必要条件(Grinberg): $n$阶简单平面哈密顿图, 哈密顿回路内(外)部次数为$i$的面数为$r_i'(r_i'')\Leftarrow \sum_{i=3}^n (i-2)(r_i'-r_i'')=0$

点着色与色多项式

• 着色: 给无环图的每个顶点指定一种颜色,使得相邻顶点有不同颜色
  • 颜色集$C=\{1,2,\cdots,k\}$, k-着色
• 色数
  • k-色图: 可k-着色, 但不可(k-1)-着色
  • 色数: 着色需要的最少色数
  • 点色数$\chi(G)$, 边色数$\chi'(G)$, 面色数$\chi^*(G)$
  • 性质
    • $\chi(G)=1\Leftrightarrow G$是零图
    • $\chi(K_n)=n$
    • $\chi(G)=2\Leftrightarrow G$是非零图二部图
    • G可2-着色$\Leftrightarrow$G是非零二部图$\Leftrightarrow$G无奇圈
    • $\chi(C_n)=2+n\bmod 2$
    • $\chi(W_n)=3+[2\mid n]$
• $\chi(G)\leq\Delta(G)$
• Brooks定理: $n(n\geq 3)$阶连通非完全图$G$非奇圈$\Leftrightarrow \chi(G)\leq\Delta(G)$
• 对图$G$进行$\chi(G)$-着色,
  • 设$V_i=\{v\mid v\in V(G)\wedge v着颜色i\}$, 则$\Pi=\{V_1,V_2,\cdots,V_{\chi(G)}\}$是$V(G)$的划分,且$V_i$中的点构成独立集.
  • $R=\{(u,v)\mid u,v\in V(G)\wedge u,v着同色\}$, 则$R$是$V(G)$上的等价关系
• 色多项式$f(G,k)=$图G的不同k-着色的总数
  • 对完全图$f(K_n,k)=k(k-1)\dots(k-n+1)=f(K_{n-1},k)(k-n+1)$
  • 零图$f(N_n,k)=k^n$
• 递推公式
  • 若$(u,v)\notin E(G), f(G,k)=f(G\cup (u,v),k)+f(G$\$(u,v),k)$
  • 若$e=(u,v)\in E(G), f(G,k)=f(G-e,k)-f(G$\$e,k)$
  • 推论: $f(G,k)=\sum_{i=1}^r f(K_{n_i},k),\chi(G)=\min(n_1,\cdots,n_r)$
• 色多项式性质
  • $f(G,k)$是$n$次多项式, 系数正负号交替
  • $k^n$系数为1, $k^{n-1}$系数为$-m$, 常数项为0
  • 最低非零项次数为$k^p$, 其中$p$为连通分支数
  • 不同连通分支相乘
  • T是n阶数$\Leftrightarrow f(T,k)=k(k-1)^{n-1}$
  • C是n阶圈$\Rightarrow (k-1)^n+(-1)^n(k-1)$
• 设$V_1$是$G$的点割集,且$G[V_1]$是$G$的完全子图$K_{|V_1|}$, 若$G-V_1$有$p$个连通分支$G_1,\cdots,G_p(p\geq 2)$, 且$H_i=G[V_1\cup V(G_i)]$, 则$f(G,k)=\frac{\prod_{i=1}^p f(H_i,k)}{f(G[V_1],k)^{p-1}}$

地图着色, 平面图点着色与边着色

• 地图: 连通无桥的平面图的平面嵌入及其所有的面
  • 国家: 平面地图的面
  • 相邻: 两国的公共边界至少有一条公共边
  • k-面着色, k-色地图, 面色数$\chi^*(G)$
• 地图$G$可k-面着色$\Leftrightarrow$对偶图$G^*$可k-着色$\Leftrightarrow$连通无环平面图$G$可k-着色
• Heawood定理: 任何平面图都可5-着色
• Vizing定理: G是简单图$\Rightarrow \Delta(G)\leq\chi'(G)\leq\Delta(G)+1$
  • G是二部图$\Rightarrow\chi'(G)=\Delta(G)$
  • $\chi'(K_n)=n-[2\mid n]$
• 同色边可以构造等价关系, 且构成边独立集(匹配)

支配集, 点覆盖集, 点独立集

• 支配集
  • 支配: $G=\langle V,E\rangle, e=(u,v)\Leftrightarrow u(v)$支配$v(u)$
  • 支配集: $V^*\subseteq V,\forall v\in V-V^*, \exist u\in V^*, u$支配$v$
  • 极小支配集, 最小支配集
  • 支配数$\gamma_0(G)$: 最小支配集的顶点数
• 无向图$G$无孤立点, $V_1^*$是极小支配集, 则存在$V_2^*$也是极小支配集且$V_1^*\cap V_2^d*=\emptyset$
• 独立集:
  • 独立集: $V^*\subseteq V,\forall u,v\in V^*, u$与$v$不相邻
  • 极大独立集, 最大独立集
  • 点独立数$\beta_0(G)$最大独立集的顶点数
• 无向图$G$中, $V^*$是极大独立集$\Rightarrow V^*$是极小支配集
  • 推论: $\gamma_0(G)\leq \beta_0(G)$
• 团
  • $V^*\subseteq V,G[V^*]$是完全子图
  • 极大团, 最大团
  • 团数$\nu_0(G)$最大团的顶点数
• $V^*$是$G$的团$\Leftrightarrow V^*$是$\overline{G}$的独立集
  • $\nu_0(G)=\beta_0(\overline{G})$
  • $V^*$是$G$的极(最)大团$\Leftrightarrow V^*$是$\overline{G}$的极(最)大独立集
• 点覆盖
  • $V^*\subseteq V,\forall e\in E,\exist v\in V^*,v$关联$e$
    • 点覆盖需要包含所有带环点
  • 极小点覆盖, 最小点覆盖
    • 极小点覆盖不包含孤立点
  • 点覆盖数$\alpha_0(G)$
• 无孤立点图中, 点覆盖是支配集
  • $\gamma_0\leq\alpha_0$
  • 点覆盖加所有孤立点是支配集
  • 极小点覆盖不一定是极小支配集
  • 支配集不一定是点覆盖'
• 无向图$G$无孤立点, $V^*\subseteq V$, $V^*$是点覆盖$\Leftrightarrow V-V^*$是独立集
  • 推论: $V^*$是极(最)小点覆盖$\Leftrightarrow V-V^*$是极(最)大独立集. $\alpha_0+\beta_0=n$

边覆盖集与匹配

• 对无孤立点图$G$, 边覆盖集: $E^*\subseteq E, \forall v\in V, \exist e\in E^*, e$关联$v$.
  • 极小边覆盖, 最小边覆盖
  • 边覆盖数$\alpha_1$
• 匹配: $E^*\subseteq E,\forall e,f\in E^*,e,f$不相邻
  • 极大匹配, 最大匹配
  • 匹配数$\beta_1$
  • 饱和点: 匹配中边所关联的顶点
  • 完美匹配: 没有非饱和点的匹配
• 无向图$G$无孤立点
  • 设$M$为最大匹配, $\forall$非饱和点$v$, 取与$v$关联的一边, 组成边集$N$, 则$W=M\cup N$是最小边覆盖
  • 设$W_1$是最小边覆盖, 若$W_1$有相邻边, 就删除其中一边, 直到无相邻边为止, 则删除边之后得到的边集是最大匹配
  • $\alpha_1+\beta_1=n$
  • 推论: 无向图$G$无孤立点, $M$是匹配, $W$是边覆盖, 则$|M|\leq|W|$, 等号成立时, $M$是完美匹配, $W$是最小边覆盖
• 无向图$G$无孤立点, $M$是匹配, $N$是点覆盖, $Y$是独立集, $W$是边覆盖, 则
  • $|M|\leq |N|$, 等号成立时$M$是最大匹配, $N$是最小点覆盖
  • $|Y|\leq |W|$, 等号成立时$Y$是最大独立集, $W$是最小边覆盖
  • 推论: $\beta_1\leq\alpha_0,\beta_0\leq\alpha_1$
• 交错路径: 在匹配中的和在匹配外交替取边的路径.
• 设$M_1,M_2$是$G$中2个不同匹配, 则$G[M_1\oplus M_2]$的每个连通分支是$M_1$和$M_2$中边组成的交错圈或交错路径.
• 可增广(交错)路径: 两端都是非饱和点的交错路径
• 设$M$是$G$中匹配, $\Gamma$是$M$的可增广路径, 则$M'=M\oplus E(\Gamma)$也是$G$中匹配, 且$|M'|=|M|+1$.
• Berge定理: $M$是$G$中最大匹配$\Leftrightarrow G$中无$M$增广路径
• Tutte定理: $G$有完美匹配$\Leftrightarrow \forall V'\subseteq V(G). p_奇(G-V')\leq |V'|$
  • 推论: 无桥的3-正则图均有完美匹配

二部图中的匹配

• 二部图$G=\langle V_1,V_2,E\rangle, |V_1|\leq |V_2|, M$是完美匹配$\Rightarrow |M|=|V_1|$
• Hall条件: $\forall S\subseteq V_1,|S|\leq |N(S)|, N(S)=\{u\mid\exist v\in S, (v,u)\in E\}=\cup_{v\in S}\Gamma(v)$
• Hall定理: 二部图$G$有完美匹配$\Leftrightarrow G$满足Hall条件
• t-条件: $V_1$中每个顶点至少关联$t$条边$\wedge V_2$中每个顶点至多关联$t$条边
• G满足t-条件$\Rightarrow G$中存在完美匹配
• k-正则二部图中, 存在k个边不重的完美匹配
• 无孤立点的二部图中$\alpha_0=\beta_1$.