luogu6078 [CEOI2004]糖果

题目链接：luogu6078

首先可以把题目转化为吃掉至多\(a\)个糖果的方案数。

考虑将每一个罐子取糖果方法的生成函数写起来，是\(1+x+x^2+\cdots+x^m=\frac{1-x^{m+1}}{1-x}\).

那么最后答案的生成函数就是：

\[\prod_{i=1}^n\frac{1-x^{m_i+1}}{1-x}=\prod_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})\frac{1}{(1-x)^n}=\prod_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})\sum_{i\geq 0}\dbinom{i+n-1}{i}x^i \]

这个生成函数的前半部分至多只有\(2^n\)个位置有值，鉴于\(n\)很小我们可以爆搜出，假设当前找到了\(x^y\)的系数非零，那么后面那项对它的贡献是\(\sum_{i=0}^{a-y}\dbinom{i+n-1}{i}=\dbinom{a-y+n}{a-y}=\dbinom{a-y+n}{n}\)(至于这个组合恒等式的证明，可以考虑组合数的递推/组合意义)

于是\(x^y\)的贡献可以在\(O(n)\)的时间内解决。最后注意一下组合数取模的问题即可。

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=100000;
const db pi=acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define sqr(x) (x)*(x)
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define go(u,i) for (register int i=head[u];i;i=sq[i].nxt)
#define fir first
#define sec second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define maxd 2004
#define eps 1e-8
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return x*f;
}

namespace My_Math{
	#define N 100000

	int fac[N+100],invfac[N+100];

	int add(int x,int y) {return x+y>=maxd?x+y-maxd:x+y;}
	int dec(int x,int y) {return x<y?x-y+maxd:x-y;}
	int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y%maxd;}
	ll qpow(ll x,int y)
	{
		ll ans=1;
		while (y)
		{
			if (y&1) ans=mul(ans,x);
			x=mul(x,x);y>>=1;
		}
		return ans;
	}
	int getinv(int x) {return qpow(x,maxd-2);}

	void math_init()
	{
		fac[0]=invfac[0]=1;
		rep(i,1,N) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		invfac[N]=getinv(fac[N]);
		per(i,N-1,1) invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
	}
	#undef N
}
using namespace My_Math;

int n,m,ans,v[12],a,b;

int C(int n,int m)
{
	if ((n<m) || (n<0) || (m<0)) return 0;
	ll ans=1,pro=1;
	rep(i,1,m) pro=pro*i;
	ll mod=pro*maxd;
	rep(i,n-m+1,n)
		ans=ans*(i%mod)%mod;
	ans=(ans/pro)%mod;
	return ans;
}

void dfs(int dep,int op,int now)
{
	if (dep==n+1)
	{
		if (op&1) ans=dec(ans,C(n+m-now,n));
		else ans=add(ans,C(n+m-now,n));
		return;
	}
	dfs(dep+1,op,now);
	dfs(dep+1,op+1,now+v[dep]);
}

int solve(int lim)
{
	m=lim;ans=0;
	dfs(1,0,0);
	return ans;
}

int main()
{
	n=read();a=read();b=read();
	rep(i,1,n) v[i]=read()+1;
	int ans=dec(solve(b),solve(a-1));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}