国庆集训Day2笔记
图论
最短路
算法
floyd：\(f_{k,i,j}\)为只使用\(1-k\)中的点的最短路，\(f_{k+1,i,j}=max(f_{k+1,i,j},f_{k,i,p}+f_{k,p,j})\)(无负环)
dijkstra：（边权非负时正确）每次在没有选择过的点中，选择距离最小的\(u\)，并更新所有相邻点的距离
Bellman-Ford：随机选择一个节点更新相邻点（边权可为负）
题
CF295B(solved)
倒序加点+floyd
NOI2007社交网络
最短路计数模板题
可以在floyd的同时维护最短路条数
jzoj6354
分层图最短路
连通分量
算法
强连通分量（有向图）：有向图的某一个子图，使得子图内任意两点可互达（使用Tarjan求解）
双连通分量（无向图）：
（1）点双连通分量：对某个子图，任意删去一个点后子图仍联通。
注意一个点可以属于多个点双连通分量中
（2）边双连通分量：对某个子图，任意删去一条边后子图仍联通。
圆方树：圆点为原图中的点，方点为每一个点双连通分量，若某个点属于某个点双则连边，图中一定不存在环
题
WF2011H
按照割点个数分类讨论
UOJ Goodbye Jiawu B
树：\(m=n-1\)且联通
割点不能删，暴力计算边数
BJOI2013 压力
圆方树上的\((u,v)\)两点路径上的圆点是必须要经过的点，同一个点双内的其他点不一定要经过（点双定义）
树上差分统计答案
差分约束系统
定义
给出\(n\)个非负变量和\(m\)个不等式\(x_i-x_j\geq k\)，求是否有可行解且最小化\(\sum x_i\)
求解
\(x_i\geq x_j+k->x_j连向x_i且权为k\)
图中正环则无解，否则建立超级源求最长路
小于等于同理，但是需要求的是最短路且为最大解
题
POI2012 Festival
\(x_i=x_j+1\)等价于\(x_i\leq x_j+1且x_i\geq x_j+1(x_j\leq x_i-1)\)
\(x_i\leq x_j\)
求SCC并重构图
SCOI2011 糖果
不使用SPFA时，SCC缩点，由于不能存在正环故不存在\(1\)边，也就是所有点都一样
2-SAT
定义
\(x_i\ op\ x_j=1\)，求可行解
解法
将\(x_{i}\)拆成\(x_{i0},x_{i1}\)，若\(x_{a}=p\)则\(x_b=q\)，则\(x_{ap}\)向\(x_{bq}\)连边（对称性）
SCC缩点后每个SCC内的点要么都选要么都不选，得到一个DAG
无解：\(x_{i0}\)和\(x_{i1}\)在同一个SCC中
构造方案：按照逆拓扑序考虑，每次找到一个可选点之后标记所有的不可选点
JSOI2010 满汉全席(solved)
模板
NOI2017 游戏(solved)
枚举？的取值，转化成2-SAT
Other
定义
独立集：\(S\in V\)使得\(\forall u,v\in S,(u,v)\notin E\)
团： \(S\in V\)使得\(\forall u,v\in S,(u,v)\in E\)
点覆盖： \(S\in V\)使得\(\forall (u,v)\in E,u\in S\ or\ v\in S\)
支配集：\(v\in V\)\\(S\),\(\exists u\in S,s.t. \ (u,v)\in E\)
（以上均为NPC问题）
欧拉路径：经过每一条边的路径（奇点个数为0或2）
欧拉回路：欧拉路径为环（奇点个数为0）
POI2011 Party
POI2011 Conspriracy
POI2011 Garbage
AtCoder杂题
ARC102E
容斥
ARC101D
二分答案
中位数\(\geq x\)等价于将\(\geq x\)的数看成\(1\)，剩下的数看成\(-1\)后区间和\(\geq 0\)
预处理前缀和后BIT即可
ARC101E(solved)
容斥，没有不经过的->枚举不经过的边的子集，其它随意，则每一对点要求在同一个连通块内匹配。对一个大小为\(x\)的连通块，方案数有\((x-1)(x-3)···3·1=(x-1)!!\)
优化：\(f[u][s][c]\)表示\(u\)子树中，\(u\)所在的块中未匹配的点数为\(s\)，已经有\(c\)个连通块的匹配方案数，枚举与父亲是否切开进行转移。注意最后容斥系数是\((-1)^c\)，那么直接记录\(c\)的奇偶性或者将容斥系数带入即可
ARC101F
机器人之间互相独立，且一个机器人的运动范围可以看成\([l_i,r_i]\)
将\((l_i,r_i)\)放在二维平面上，所有操作可以看成一条折线，在折线下方的点则往右边掉，在上方则往左边掉。枚举L同时观察R会向上走多少，只有在某个点发生转折时才会引起方案的变化，且之前发生转折比这一次低的都可以转移到这里，前缀和优化即可
ARC099D(solved)
大力打表猜结论
ARC099E
考虑原图的补图，此时的边对应着两个点不能被划分到同一个团里面
对每个连通块判断其是否为二分图，非二分图则无解；若全是二分图则背包判断最优解
ARC096E(solved)
容斥，\(S\)表示出现次数不超过\(1\)次的数，枚举\(|S|=k\)，则\(ans=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}(-1)^kf(k)\)，\(f(k)\)表示\(1-k\)出现至多1次的方案数
\(f(i)=\sum_{j=0}^i 2^{2^{n-i}}2^{(n-i)j}g(i,j)\)。
其中\(j\)是包含\(1-i\)中的数的集合个数，\(2^{2^{n-i}}\)表示在这\(j\)个集合之外的，包含剩下\(n-i\)个元素的集合数为\(2^{n-i}\)，然后它们都可以出现或者不出现，方案数为\(2^{2^{n-i}}\)。\(2^{(n-i)j}\)表示包含\(1-i\)的这\(j\)个集合中，剩下的元素一共有\(2^{n-i}\)种可能的出现情况，然后又有\(j\)个这样的集合，方案数就是\(2^{(n-i)j}\).\(g(i,j)\)表示\(i\)个元素放在\(j\)个集合中，且每个元素出现至多一次的方案数
求解\(g(i,j)\)：注意到\(g(i,j)\)与\(\begin{Bmatrix}i\\j \end{Bmatrix}\)的定义类似，我们考虑将元素看成球，将集合看成盒子，那么\(g(i,j)\)等价于补充一个新盒子和一个新球，并且最后将新球所在的集合删去得到。所以\(g(i,j)=\begin{Bmatrix} i+1\\j+1 \end{Bmatrix}\)，仿照第二类斯特林数进行递推即可
