FWT（快速沃尔什变换）小结
在多项式卷积的处理中，我们实际上实现的是下面的一个式子
然而事实上有些和(sang)蔼(xin)可(bing)亲(kuang)的出题人，并不会让你直接求这样的式子，比如把+换成-什么的
但是更多时候，你拿到手上的却是这样一个式子
其中\(\bigoplus\)可能是\(or,and,xor\)中的一种或多种
那么现在我们就会使用FWT（快速沃尔什变化）来优化时间复杂度
前置芝士
FFT
理解思想即可，不在赘述
正文
序
(p.s. 注意下文的乘号应结合具体语境理解，是表示按位相乘还是位运算卷积)
考虑我们在实现FFT的时候干了什么？
我们搞出了一个点值表示法，然后直接对点值进行求乘积，再把它转回去
那么这对位运算是否成立呢？
即我们希望有\(FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)\)，此时可以直接按位相乘
直觉告诉我们是有的，但是是什么样的呢？
or
你要问我是怎么找的我也无从说起，十分诡异
想要了解更多的可以参考：https://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8022502.html
这里直接给出结论及其正确性的证明
对于一个有\(2^n\)项的\(A_i\)
什么是\(A_0\)和\(A_1\)？
我们把\(A\)想象成一个\(2^n\)维的向量，那么前\(2^{n-1}\)项是\(A_0\)，后\(2^{n-1}\)项是\(A_1\)
这之后的括号表示的意义同样（在之后会阐述\(FWT(A)\)的本质）
如果只是感性理解这玩意还是比较容易的：对于\(A_0\)中的每一项，它们的二进制表示最高位均是\(0\)，当它们与\(A_1\)的某一项进行了\(or\)卷积的话，那么最高位就变成了1，对后面的\(2^{n-1}\)项产生了贡献
那么问题就变成了如何证明这时的\(FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)\)
我们考虑使用数学归纳法证明，设此时\(A,B,C\)均为\(2^n\)项
若\(n=0\)，结论显然成立
若\(n>0\)，假设结论在\(n=k\)时成立
那么此时就应该有（注意这里用\(*\)表示\(or\)卷积）
(理解一下，在括号里面的表示位运算卷积，外面的则为按位相乘)
同时显然\(FWT(A+B)=FWT(A)+FWT(B)\)（+表示按位相加）
首先是等式左边
这也很好理解，和上面\(FWT\)的公式一样理解
再来看等式左边
证毕
好像结束了？让我们来看一下\(FWT(A)\)的本质
回到最开始的式子\(c_i=\sum_{j|k=i}a_jb_k\)，假设我们记\(C_i=\sum _{j\subseteq i}c_j\)，则
我们发现\(A,B,C\)就起到了上文中\(FWT\)的作用，于是当我们要求某个集合的子集中的元素和时，除了\(O(3^n)\)的枚举子集以外，还有\(O(n2^n)\)的求出数组\(A\)的\(FWT(A)\)的方法，\(A_i\)的\(i\)的子集和就是\(FWT(A)_i\)
and
证明和上面是类似的，在这里直接给出结论
以及我们注意到，当求出\(FWT(A)\)时，我们有\(FWT(A)_i=\sum_{i\subseteq j}A_j\)，它和上面的\(or\)卷积在其他除了FWT的题目中也有很好的应用
xor
依然是只给出结论，证明留给读者
IDFT相关
我们实现了FFT中类似于DFT的一步，那么IDFT呢？
直接按照上面的逆运算做回去就可以了，直接上结论：
对于\(or\)卷积
对于\(and\)卷积
对于\(xor\)卷积
code
模板题：luogu 4717
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxd=998244353,inv2=499122177;
const double pi=acos(-1.0);
int n,N;
ll a[1001000],b[1001000],c[1001000];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
return x*f;
}
void fwt_or(int lim,ll *a,int typ)
{
int mid;
for (mid=1;mid<lim;mid<<=1)
{
int len=(mid<<1),sta,j;
for (sta=0;sta<lim;sta+=len)
{
for (j=0;j<mid;j++)
{
if (typ==1) a[sta+mid+j]=(a[sta+j+mid]+a[sta+j])%maxd;
else a[sta+mid+j]=(a[sta+j+mid]+maxd-a[sta+j])%maxd;
}
}
}
}
void fwt_and(int lim,ll *a,int typ)
{
int mid;
for (mid=1;mid<lim;mid<<=1)
{
int len=(mid<<1),sta,j;
for (sta=0;sta<lim;sta+=len)
{
for (j=0;j<mid;j++)
{
if (typ==1) a[sta+j]=(a[sta+j]+a[sta+mid+j])%maxd;
else a[sta+j]=(a[sta+j]+maxd-a[sta+j+mid])%maxd;
}
}
}
}
void fwt_xor(int lim,ll *a,int typ)
{
int mid;
for (mid=1;mid<lim;mid<<=1)
{
int len=(mid<<1),sta,j;
for (sta=0;sta<lim;sta+=len)
{
for (j=0;j<mid;j++)
{
int x=a[sta+j],y=a[sta+j+mid];
a[sta+j]=(x+y)%maxd;
a[sta+j+mid]=(x+maxd-y)%maxd;
if (typ==-1) {a[sta+j]=(a[sta+j]*inv2)%maxd;a[sta+j+mid]=(a[sta+j+mid]*inv2)%maxd;}
}
}
}
}
int main()
{
n=read();N=1<<n;int i;
for (i=0;i<N;i++) a[i]=read();
for (i=0;i<N;i++) b[i]=read();
fwt_or(N,a,1);fwt_or(N,b,1);
for (i=0;i<N;i++) c[i]=(a[i]*b[i])%maxd;
fwt_or(N,a,-1);fwt_or(N,b,-1);fwt_or(N,c,-1);
for (i=0;i<N;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
fwt_and(N,a,1);fwt_and(N,b,1);
for (i=0;i<N;i++) c[i]=(a[i]*b[i])%maxd;
fwt_and(N,a,-1);fwt_and(N,b,-1);fwt_and(N,c,-1);
for (i=0;i<N;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
fwt_xor(N,a,1);fwt_xor(N,b,1);
for (i=0;i<N;i++) c[i]=(a[i]*b[i])%maxd;
fwt_xor(N,a,-1);fwt_xor(N,b,-1);fwt_xor(N,c,-1);
for (i=0;i<N;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
return 0;
}
