清醒石

清醒石

\((stone.cpp)\)

题目背景

由于顾z瞎开车，严重破坏了沝吅山的生态环境，导致了焚风效应，山女惠彤雪冻得瑟瑟发抖，所以她下山啦。

题目描述

山女惠彤雪做起了买“金刚壁·清醒石”的买卖。今天她有了第一个顾客\(qwq\)。从今天开始，连续\(n\)天，它每天会多一个新顾客。

为了顾客，他每天会去王小呆的迷宫里找\(n\)个清醒石。在第\(i\)天时，它会把这\(n\)块清醒石_平均分给_\(i\)个顾客,又为了顾客们不闹矛盾，他每天会分\(尽可能多\)的清醒石给顾客，并且每个顾客分的清醒石要\(一样多\)。由于山女每天睡不醒。所以她也需要清醒石。如果清醒石还有剩下，那就自己私吞了。

现在惠彤雪找到稳拿\(NOIp500^+\)的你，请你帮她算一算。对于每种\(n\)的情况，她一共会有多少颗清醒石来保持清醒。

输入输出格式

输入格式

第一行一个非负整数\(T\)表示询问组数。

接下来\(T\)行，每行一个正整数\(n\)表示询问。

输出格式：

输出\(T\)行，每一行输出询问对应的答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1
5

输出样例#1：

4

样例解释：

第1天有1个客户，每人5个，剩下0个。

第2天有2个客户，每人2个，剩下1个。

第3天有3个客户，每人1个，剩下2个。

第4天有4个客户，每人1个，剩下1个。

第5天有5个客户，每人1个，剩下0个。

数据范围：

对于\(10\%\)的数据，满足\(T=1,n<=10^6\).

对于另外\(30\%\)的数据，满足\(T<=10000，n<=10^{6}\).

对于\(100\%\)的数据，满足\(T<=10^7,n<=10^7\).

题解

引子

由于惠彤雪冻得瑟瑟发抖，所以她不小心把题解的markdown给删了。只留了\(PDF\)，所以题解里的公式我放的是图片。大家请见谅。

那啥，给大家说个故事：从前，有一个魔王啦，他叫乘法逆元，有一群人，叫\(OIer\)啦。\(OIers\)遇到了一个小魔王：要求乘法逆元\(QAQ\).大家瞬间慌了。这时，英雄从天而降。告诉他们拓展欧几里德算法可以求乘法逆元。大家很高兴qwq，问题解决了，并且时间复杂度很优:\(O(log^n_2)\).可是有了更大的魔王。她要求\(OIer\)求出1-n所有数的逆元。大家又慌了。这时，又有一位英雄从天而降。告诉他们乘法逆元可以线性递推。大家很高兴，因为这样一来，世界上就没有魔王可以难住他们了。遇到单组询问。拓欧。多组询问。线性递推

这就是这道题出的原因。我怕有新的魔王难住大家，所以先告诉大家通关技巧啦(当然我不是英雄，只能算是小偷，偷来的秘籍分给大家)。观察可知，此题要求的是\(\sum_{i=1}^{n}n\%i\)。

是看了秦江出的题后出的姊妹篇。不过，我要的是处理_多组询问_。

单组询问

我们先来说秦江的题。用数列分块+等差数列来做。都会吧。时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)的。很优。

其实我的题只能算是姊妹篇。真正升级版是大概是余数求和,要求的是\(\sum_{i=1}^{n}k\%i\).大家快去领经验吧\(qwq\)。

多组询问

卧槽，这回数列分块就撑不住了QAQ。时间复杂度\(O(T\sqrt{n})\).分分钟卡包你GG了.总不能向魔王卑躬屈膝吧。我们当然有更优的方法。

开始我们真正的学习：

必备的前置知识：约数和定理，约数个数定理。

余数个数

\(d(n)\)表示n的约数个数和。

计算d的方法：

prime[i]表示第i个质数。

num[i]表示i的最小因子的出现次数。

inline void OL(){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(vis[i]==0){
			tot++;
			prime[tot]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
   

我们之所以可以保证上述算法是线性的

就是因为：if (i%prime[j]==0) break

也就是说，每个数只会被 的最小质因子筛掉。

于是我们分三种情况

先放个链接透彻

i是质数

根据定理：d[i]=2,num[i]=1;

i%prime[j]==0

i%prime[i]!=0

根据上面的直接模拟，得出以下代码

void OLsss() {
    d[1]=1; num[1]=1; 
    for (int i=2;i<N;i++) { 
        if (!vis[i]) { 
            prime[++tot]=i; 
            d[i]=2; num[i]=1; 
		}
	    for (int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<N;j++) { 
			int v=prime[j]*i; no[v]=1; 
			if (i%prime[j]==0) { 
				num[v]=num[i]+1; 
				d[v]=d[i]/num[v]*(num[v]+1); 
				break; 
			}
			d[v]=d[i]<<1; num[v]=1; 
		}
	} 
}

约数和

于是我们分三种情况

i是质数

\(sd[i]=i+1.sp[i]=1+i\);

i%prime[i]==0

i%prime[i]!=0

根据上面的直接模拟，得出以下代码

inline void Olsss() { 
	sd[1]=1; sp[1]=1; 
	for (int i=2;i<N;i+=) { 
		if (!vis[i]) { 
		prime[++tot]=i; 
		sd[i]=i+1; sp[i]=i+1; 
		}
		for (int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<N;j++) { 
			int v=prime[j]*i; vis[v]=1; 
			if (i%prime[j]==0) { 
				sp[v]=sp[i]*prime[j]+1; 
				sd[v]=sd[i]/sp[i]*sp[v]; 
				break; 
			}
			sd[v]=sd[i]*sd[prime[j]]; 
			sp[v]=prime[j]+1;
    	}
	}
}

然后。没了。