算法的不变性与单调性证明举例(二分查找)

//在有序向量中查找[lo, hi)区间内元素e的下标
//若有多个e，返回最大下标
//若e不存在，返回不大于e的最大值的下标
int binSearch(int * a, int e, int lo, int hi)
{
	while(lo < hi)
	{
		int mi = (lo+hi)>>1;
		if( e<a[mi])
			hi = mi;
		else
			lo = mi+1;
	}
	return --lo;
}

int search(int *a, int e, int len)
{
	return binSearch(a, e, 0, len);
}

单调性：

	while(lo < hi)
	{
		int mi = (lo+hi)>>1;
		if( e<a[mi])
			hi = mi;
		else
			lo = mi+1;
	}

由以上代码可知，[lo, hi)区间确实会不断缩减，最终缩减为空集，即lo==hi。

不变性：
若要满足以下语义

在有序向量中查找[lo, hi)区间内元素e的下标
若有多个e，返回最大下标
若e不存在，返回不大于e的最大值的下标

需要找到一个分界线，满足分界线左边的元素都<=e，分界线右边的元素都>e。该分界线左边的元素即为满足语义的待求元素。
由于单调性，lo、hi最终会相等，相等时，lo=hi 即为分界线。

证明：
若要 lo=hi 为分界线
需要满足 条件fj： [0, lo)内的元素都<=e, (hi, len)即[hi+1, len)内的元素都>e.
初始时，lo=0， hi=len，[0, lo)与(hi, len)都为空集，显然满足 条件fj 。

	while(lo < hi)
	{
		int mi = (lo+hi)>>1;
		if( e<a[mi])
			hi = mi;
		else //隐含的 a[mi]<=e
			lo = mi+1;
	}

每次while循环，有两种情况可能发生
情况1： e<a[mi]
情况2： a[mi]<=e (代码中的else分支)
当 情况1 时，hi=mi，[0,lo)区间不变，(hi, len)区间扩展，只要证明扩展后(hi, len)内的元素仍然都>e就好了。
因为是用mi更新的hi， a[mi]>e, 所以，mi右边的元素也都>e。所以，扩展后(hi, len)内的元素仍然都>e。
当 情况2 时，lo=mi+1, (hi, len)区间不变，[0,lo)区间扩展，只要证明扩展后[0,lo)内的元素仍然都<=e就好了。
因为用 mi+1 更新的lo，a[mi]<=e, 所以mi+1左边的元素也都<=e。所以，扩展后[0,lo)内的元素仍然都<=e。
综上所述，每次循环，无论 情况1 情况2 ，循环后， [0, lo)内的元素都<=e, (hi, len)内的元素都>e.
即每次循环后，都仍然满足 条件fj 。

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综上，根据该算法的单调性与不变性，while执行完后，lo==hi，lo=hi 左侧的元素都<=e， lo=hi右侧的元素都>e，lo-1即为满足 语义 的结果。算法正确。

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此算法的难点在于 不是查找点，而是查找一个空区间[lo,lo)作为分界线，使 [0, lo)和[lo, len)内的元素满足要求