最小树形图

简介：

在一个有向图中构造一颗最小生成树
(有根树)

解法：

朱刘算法：

判断图的连通性：如果所有点不联通，无解
除根节点外寻找每个点的最小入边，记pre[v]为点v的入边顶点,in[v]为最小入边的边权
判断是否图中是否存在环，如果无环则ans += in[v],输出答案，否则进行4
缩点：将成环的点v $_1$ ,v $_2$ ,v $_3$ ,....,v $_n$ 缩为一个点，ans +=in[v $_1$ ~v $_n$ ]
更新环外的点到环的距离：w -= in[v]

不断重复3,4直到没有环输出ans，算法复杂度O(n*m)

借用别人的图来解释一下缩点：

在第2步出现了环2-3-4，ans += in[2-3-4],之后更新点1到环的距离，因为对于同一个点，只有一个最小入边，此时对于点4最小入边存在两个（1,3），而边3-4已经加入到了ans之中，所以对于边1-4要消去这个影响，故而此时边1-4的边权变为了(4-2 =)2,减去的2就是边3-4的影响，我们可以理解为此时我们断开了边3-4，连上了边1-4【依据：除根节点外，每个节点都有且只有一个最小入边】

无根树的处理：虚根
增加一个超级起点，连接所有顶点，边权为sum
sum = 前m条边的边权和+1
此时无解的条件为ans == -1||ans>=2*sum
因为我们只会选一个点为真实的根，所以sum只会被选一次，其余边加起来也不会超过sum，所以如果ans>=2*sum，说明超级起点至少选择了两个顶点作为根

借用其他人的图解释一下虚根：

此时顶点4为虚根，连接了其他所有顶点，边权为sum
绿色的边为实际选择的最小树形图，所以真实的根节点为0
而答案为ans-sum

如果我们想要求得真实的根节点，只需要在求最小树形图的时候，如果选择的边的顶点为超级起点，则更新pos为i，因为总的边数为m+n，而只有后n条边为新增的超级起点边，所以只要pos-m+1即为真实的根节点(节点从0开始)

代码实现：

例：UVA-11183
P4716 【模板】最小树形图

有根树

 #include<iostream>
# include<cmath>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;
# define int long long
# define endl "\n"
const int N = 1e3 + 10, M = 4e4 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
struct edg {
	int a, b;
	int w;
} e[M];
int in[N];//最小入边 
int pre[N];//最小入边前驱 
int id[N], vis[N];//id:缩点后的编号 
int root = 1;//根 
int ans = 0;//答案 
int getans() {
 
	int cnt = 0, u, v;
	int laz;
	while (1) {
		/*初始化所有最小入边为inf*/ 
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			in[i] = inf;
			id[i] = vis[i] = 0;
		}
		//1.寻找除根节点外所有点的最小入边 
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			/*如果a,b不同并且当前边权小于点b的最小入边则更新*/
			if (e[i].a ^ e[i].b && e[i].w < in[e[i].b]) {
				pre[e[i].b] = e[i].a;
				in[e[i].b] = e[i].w;
			}
		}
		in[root] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			//2.判断连通性，如果某个点的最小入边为inf则说明其无入边，不联通 
			if (in[i] == inf) return (ans = -1);
			ans += in[i];
			u = i;
			//3.判断是否成环 
			while (u ^ root && vis[u]^i && !id[u]) {
				//若当前节点不为根并且非入点(非环)并且尚未编号就不断向前遍历 
				vis[u] = i;
				u = pre[u];
			}
			/*如果当前节点不为根节点并且没有编号，说明成环*/ 
			if (u ^ root && !id[u]) {
				/*缩点*/ 
				id[u] = ++cnt;
				for (v = pre[u]; v ^ u; v = pre[v]) {
					id[v] = cnt;
				}
			}
		}
		/*如果没有缩点说明无环返回ans*/ 
		if (!cnt) return ans;
		//更新所有节点编号 
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (!id[i]) id[i] = ++cnt;
		}
		//4.更新环外点到环的距离 
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			laz = in[e[i].b];//最小入边 
			/*如果a,b不属于同一个id说明a,b不为同一个环则更新距离*/ 
			if ((e[i].a = id[e[i].a]) != (e[i].b = id[e[i].b])) {
				e[i].w -= laz;
			}
		}
		n = cnt;//更新节点数目(缩点后) 
		root = id[root];//更新根节点 
		cnt = 0;
	}
}
int ll = 0;
void solve() {
	ll++;
	cin >> n >> m;
	ans = 0;
	root = 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		int a, b, w;
		cin >> a >> b >> w;
		e[i] = {a + 1, b + 1, w};
	}
	getans();//朱刘算法 
	printf("Case #%d: ", ll);
	if (ans != -1) printf("%d\n", ans);
	else printf("Possums!\n");
 
 
}
int tt;
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	tt = 1;
	cin >> tt;
	while (tt--) solve();
 
 
	return 0;
}

无根树-虚根

 #include<iostream>
# include<cmath>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;
# define int long long
# define endl "\n"
const int N = 1e3 + 10, M = 4e4 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
struct edg {
	int a, b;
	int w;
} e[M];
int in[N];//最小入边
int pre[N];//最小入边前驱
int id[N], vis[N];//id:缩点后的编号
int root = 1;//根
int ans = 0;//答案
int pos = 0;
int getans() {
 
	int cnt = 0, u, v;
	int laz;
	while (1) {
		/*初始化所有最小入边为inf*/
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			in[i] = inf;
			id[i] = vis[i] = 0;
		}
		//1.寻找除根节点外所有点的最小入边
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			/*如果a,b不同并且当前边权小于点b的最小入边则更新*/
			if (e[i].a ^ e[i].b && e[i].w < in[e[i].b]) {
				pre[e[i].b] = e[i].a;
				in[e[i].b] = e[i].w;
				if (e[i].a == root) pos = i;
			}
		}
		in[root] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			//2.判断连通性，如果某个点的最小入边为inf则说明其无入边，不联通
			if (in[i] == inf) return (ans = -1);
			ans += in[i];
			u = i;
			//3.判断是否成环
			while (u ^ root && vis[u]^i && !id[u]) {
				//若当前节点不为根并且非入点(非环)并且尚未编号就不断向前遍历
				vis[u] = i;
				u = pre[u];
			}
			/*如果当前节点不为根节点并且没有编号，说明成环*/
			if (u ^ root && !id[u]) {
				/*缩点*/
				id[u] = ++cnt;
				for (v = pre[u]; v ^ u; v = pre[v]) {
					id[v] = cnt;
				}
			}
		}
		/*如果没有缩点说明无环返回ans*/
		if (!cnt) return ans;
		//更新所有节点编号
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (!id[i]) id[i] = ++cnt;
		}
		//4.更新环外点到环的距离
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			laz = in[e[i].b];//最小入边
			/*如果a,b不属于同一个id说明a,b不为同一个环则更新距离*/
			if ((e[i].a = id[e[i].a]) != (e[i].b = id[e[i].b])) {
				e[i].w -= laz;
			}
		}
		n = cnt;//更新节点数目(缩点后)
		root = id[root];//更新根节点
		cnt = 0;
	}
}
int ll = 0;
void solve() {
 
	while (cin >> n >> m) {
		ans = 0;
		int sum = 0;
		int nowm = m;
		pos = 0;
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			int a, b, w;
			cin >> a >> b >> w;
			e[i] = (edg) {a + 1, b + 1, w};
			sum += w;
		}
		sum++;
		n++;
		root = n;
		/*新增超级起点并连接其余所有顶点，边权为sum*/
		for (int i = 1; i < n; ++i) {
			e[++m] = (edg) {n, i, sum};
		}
		getans();//朱刘算法
		if (ans == -1 || ans >= sum * 2)
			puts("impossible");
		else printf("%lld %lld\n", ans - sum, pos - nowm - 1);
		puts("");
	}
}
int tt;
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	tt = 1;
//	cin >> tt;
	while (tt--) solve();
 
 
	return 0;
}

posted @ 2023-01-05 13:31 empty_y 阅读(66) 评论(0) 编辑收藏举报

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	#include<iostream>
	# include<cmath>
	# include<cstring>
	# include<algorithm>
	using namespace std;
	# define int long long
	# define endl "\n"
	const int N = 1e3 + 10, M = 4e4 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
	int n, m;
	struct edg {
	int a, b;
	int w;
	} e[M];
	int in[N];//最小入边
	int pre[N];//最小入边前驱
	int id[N], vis[N];//id:缩点后的编号
	int root = 1;//根
	int ans = 0;//答案
	int getans() {

	int cnt = 0, u, v;
	int laz;
	while (1) {
	/初始化所有最小入边为inf/
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	in[i] = inf;
	id[i] = vis[i] = 0;
	}
	//1.寻找除根节点外所有点的最小入边
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
	/如果a,b不同并且当前边权小于点b的最小入边则更新/
	if (e[i].a ^ e[i].b && e[i].w < in[e[i].b]) {
	pre[e[i].b] = e[i].a;
	in[e[i].b] = e[i].w;
	}
	}
	in[root] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	//2.判断连通性，如果某个点的最小入边为inf则说明其无入边，不联通
	if (in[i] == inf) return (ans = -1);
	ans += in[i];
	u = i;
	//3.判断是否成环
	while (u ^ root && vis[u]^i && !id[u]) {
	//若当前节点不为根并且非入点(非环)并且尚未编号就不断向前遍历
	vis[u] = i;
	u = pre[u];
	}
	/如果当前节点不为根节点并且没有编号，说明成环/
	if (u ^ root && !id[u]) {
	/缩点/
	id[u] = ++cnt;
	for (v = pre[u]; v ^ u; v = pre[v]) {
	id[v] = cnt;
	}
	}
	}
	/如果没有缩点说明无环返回ans/
	if (!cnt) return ans;
	//更新所有节点编号
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (!id[i]) id[i] = ++cnt;
	}
	//4.更新环外点到环的距离
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
	laz = in[e[i].b];//最小入边
	/如果a,b不属于同一个id说明a,b不为同一个环则更新距离/
	if ((e[i].a = id[e[i].a]) != (e[i].b = id[e[i].b])) {
	e[i].w -= laz;
	}
	}
	n = cnt;//更新节点数目(缩点后)
	root = id[root];//更新根节点
	cnt = 0;
	}
	}
	int ll = 0;
	void solve() {
	ll++;
	cin >> n >> m;
	ans = 0;
	root = 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
	int a, b, w;
	cin >> a >> b >> w;
	e[i] = {a + 1, b + 1, w};
	}
	getans();//朱刘算法
	printf("Case #%d: ", ll);
	if (ans != -1) printf("%d\n", ans);
	else printf("Possums!\n");


	}
	int tt;
	signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	tt = 1;
	cin >> tt;
	while (tt--) solve();


	return 0;
	}