欧拉函数（互质）

定义：

欧拉函数是指：一个数N,在1~N这个范围内，与N互质的数的“个数”记作 $\phi$(N)
互质是指gcd(i,N) = 1
因为一个数总能被分解为：N = P$_{1}$$^{a1}$*P$_{2}$$^{a2}$*P$_{3}$$^{a3}$*....*P$_{k}$$^{ak}$
且欧拉函数为一个积性函数：$\phi$(mn) = $\phi$(m) * $\phi$(n)

所以我们可以得到$\phi$(N) = $\phi$(P$_{1}$$^{a1}$)*$\phi$(P$_{2}$$^{a2}$)*$\phi$(P$_{3}$$^{a3}$)*......*$\phi$(P$_{k}$$^{ak}$)
对于其中的某一项$\phi$(P$_{i}$$^{ai}$)分析：从1到P$_{i}$$^{ai}$共有P$_{i}$$^{ai}$个数，其中与P$_{i}$$^{ai}$不互质的有P$_{i}$，2*P$_{i}$，3*P$_{i}$.....P$_{i}$$^{ai-1}$*P$_{i}$共有P$_{i}$$^{ai-1}$项，所以互质的就有P$_{i}$$^{ai}$-P$_{i}$$^{ai-1}$项，所以我们可以得到公式

$\phi$(N) = N * (1-$\frac{1}{a1}$)*(1-$\frac{1}{a2}$)*.....*(1-$\frac{1}{ak}$)

代码实现：

1. 朴素算法（公式法）：

void solve() {
	int x;
	cin>>x;
	int res = x;
	for(int i = 2;i <= x/i;++i){
		if(x%i == 0){
			while(x%i == 0) x/= i;
			res = res/i*(i-1);
		}
	}
	if(x>1) res = res/x*(x-1);
	cout<<res<<endl;
}

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2.线性筛法

以上解释引用自Sundae

int primes[N],cnt;//线性筛 
int phi[N];//欧拉函数 
bool st[N];
void get_eulers(int n){
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i){
		if(!st[i]){
			primes[cnt++] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 0;primes[j]<=n/i;++j){
			st[primes[j]*i] = true;
			if(i%primes[j] == 0){
				phi[primes[j]*i] = primes[j]*phi[i];
				break;
			}
			phi[primes[j]*i] = phi[i]*(primes[j]-1);
		}
	}
}