博弈学习 1

看完三位博主的文章再做了几个简单题后的简单总结。
可以看原文，比较详细~~

链接 1： http://blog.csdn.net/logic_nut/article/details/4711489
链接 2： http://blog.sina.com.cn/s/blog_83d1d5c70100y9yd.html
链接 3： http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073

几个定义与结论：

（1）组合游戏：

1、有且仅有两个玩家
2、两名玩家交替在有限的移动集合（比如：取石子游戏，石子是有限的，棋盘中的棋盘大小的有限的）中对游戏进行合法的移动（不能不移动）
3、如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。

（2) Nim游戏：
它是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。

通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，
合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

(3）两个状态

P-Position : P 指的是 Previous ，上一次移动的人有必胜策略，即先手必败
N-Position ：N 指的是 Next ，这次移动的人有必胜策略，即先手必胜

1. 无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；
2. 可以移动到P-position的局面是N-position。
3. 所有移动都导致N-position 的局面是P-position。

（我的理解是：如果所有可以移动到此局面的局面都是N-Position ，那么此局面是 P-Position；

　如果一个局面的状态是 P-Position，那么这个局面能够转移到的所有局面都是 N-Position

　如有不对望指正^ ^）。

这个可以结合链接 1 原文想一想 ~

一个结论：
(Bouton's Theorem)对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。

证明在链接 1 中~

题目：HDU1846 2147 2149 2188

几个题都是简单的巴什博奕。

巴什博奕（Bash Game）：有一堆n个物品，两人轮流从堆中取物品，每次取 x 个（ 1 ≤ x ≤ m）。最后取光者为胜。

HDU 1846

1）可以用上述的 P-Position 和 N-Position的定义解，多模拟几次就可以发现规律，然后就可愉快解题了。

例如 n m 分别为 6 2时
即石子有 6 颗，两人轮流取，每次可以可取 1~2 颗。

那么所有的状态应该是这样的：

有x颗时 0 1 2 3 4 5 6
Position P N N P N N P

发现规律了咩~

2）也可以这样想，复制一段来自链接 3 的推导：

如果 n = m + 1，一次至多取 m 个，所以无论先取者，取了多少个，一定还剩余 x 个（ 1 ≤ x ≤ m）。所以，后取者必胜。
因此我们发现了取胜的秘诀：如果我们把 n 表示为 n = (m + 1) * r + s 。（0 ≤ s < m , r ≥ 0）。
先取者拿走 s 个, 后取者拿走 k 个 (1 ≤ k ≤ m)，那么先取者再拿走 m + 1 - k 个。
结果还剩下 ( m + 1 ) * ( r - 1 ) 个。我们只要始终给对手留下 m + 1 的倍数，那么先取者肯定必胜。
现在我们可以知道，如果 s = 0，那么后取者必胜。否则先取者必胜。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n%(m+1) == 0) printf("second\n");
        else printf("first\n");
    }
    return 0;
}

HDU2147

题意：

N*M棋盘，最初棋子在右上角，即（1，M）每次可以往左、下、左下走一步，最后走到左下角的胜。

最先开始把它看做一个类似取石子的游戏，每次可走1~2步的（走到左下算两步= =）

然后 WA 掉了 WA 掉了掉了了。。

正解是又照着定义模拟了一遍，找出规律，即当 N M 都是奇数的时候先手必败。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        if(n==0 && m==0) break;
        if((n&1) && (m&1)) printf("What a pity!\n");
        else printf("Wonderful!\n");
    }
    return 0;
}

HDU2188
与 HDU 1846 同理哟

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,m;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        if(n%(m+1)) cout<<"Grass"<<endl;
        else cout<<"Rabbit"<<endl;
    }
    return 0;
}

HDU 2149

按照上面的推导，如果我们把 n 表示为 n = (m + 1) * r + s 。（0 ≤ s < m , r ≥ 0）。
那么 s 就是第一次的加价。如果加价大于本价，也就是说先手可以直接买到了，那么出的价就可以是 m~n这一段里的任一。
最先开始自己没想清楚，以为 1~s 都可以，= = 后来想了下，如果不直接加到 S ，那不是给了对方可乘之机 = =

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,m;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){
        if(m%(n+1)){
            int x = m%(n+1);            
            if(n>=m){
                cout<<m;
                for(int i=m+1;i<=n;i++) printf(" %d",i);
            } 
            else printf("%d",x);                        
        }
        else printf("none");    
        cout<<endl;    
    }
    return 0;
}

posted @ 2016-07-22 21:33 Ember 阅读(253) 评论(0) 编辑收藏举报

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