手把手教系列之IIR滤波器设计
[导读]：在嵌入式系统中经常需要采集模拟信号，采集模拟信号的信号链中难免引入干扰，那么如何滤除干扰呢？今天就来个一步一步描述如何设计部署一个IIR滤波器到你的系统。
何为IIR滤波器？
无限冲激响应（IIR： Infinite Impulse Response）是一种适用于许多线性时不变系统的属性，这些系统的特征是具有一个冲激响应h（t），该冲激响应h（t）不会在特定点上完全变为零，而是无限期地持续。 这与有限冲激响应（FIR： Finite Impulse Response）系统形成对比，在有限冲激响应（FIR）系统中，对于某个有限T，在时间t> T时，冲激响应确实恰好变为零。 线性时不变系统的常见示例是大多数电子和数字滤波器。 具有此属性的系统称为IIR系统或IIR滤波器。
这是常见的教科书式数学严谨定义，很多人看到这一下就蒙了，能说人话吗？
线性时不变系统理论俗称LTI系统理论，源自应用数学，直接在核磁共振频谱学、地震学、电路、信号处理和控制理论等技术领域运用。它研究的是线性、非时变系统对任意输入信号的响应。虽然这些系统的轨迹通常会随时间变化（例如声学波形）来测量和跟踪，但是应用到图像处理和场论时，LTI系统在空间维度上也有轨迹。因此，这些系统也被称为线性非时变平移，在最一般的范围理论给出此理论。在离散（即采样）系统中对应的术语是线性非时变平移系统。由电阻、电容、电感组成的电路是LTI系统的一个很好的例子。比如一个运放系统在一定频带范围内满足信号的时域叠加，输入一个100Hz和200Hz正弦信号，输出频率是这两种信号的线性叠加。
用数学对LTI系统描述：
线性：输入\(x_1(t)\),产生响应\(y_1(t)\),而输入\(x_2(t)\),产生响应\(y_2(t)\),那么缩放和加和输入\(a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\),产生缩放、加和的响应\(a_1y_1(t)+a_2y_2(t)\),其中\(a_1\)和\(a_2\)是标量，对于任意的有：输入\(\sum_{k=0}^{N}a_kx_k(t)\),产生响应\(\sum_{k=0}^{N}a_ky_k(t)\)
时不变性：指如果将系统的输入信号延迟\(\tau\)秒，那么得到的输出响应也相应延时\(\tau\)秒。用数学描述，也即如果输入\(x_1(t)\),产生响应\(y_1(t)\),而输入\(x_1(t+\tau)\)，产生响应\(y_1(t+\tau)\)。这么描述还是不易懂，来个图，有图有真相：
假定一个信号放大电路对100Hz正弦信号放大2倍：
则输出为：
而对200Hz的正弦信号，其放大倍数为1.7倍。（做过运放电路设计的朋友应该有经验，在其同频带其放大倍数往往并不平坦，也即幅频响应在频带内不平坦，这是比较常见的）。
也即输入为：
响应为:
那么如果输入100Hz和200Hz的时域叠加信号，则其输入为：
则其响应为：
由这些图可看出，输入信号的形状保持不变，输出为对应输入的线性时域叠加。
对于时不变，就不用图描述了，在一个真实电路中，如果输入延迟一定时间，则响应对应延迟相同时间输出。
上面这么多文字只是为了描述在什么场合可以使用IIR滤波器对信号进行数字滤波。总结而言，就是在线性时不变系统中适用。换言之，在大多数电路系统中我们都可以尝试采用IIR滤波器进行数字滤波。
那么究竟什么是IIR滤波器呢？从数字信号处理的书籍中我们能看到这样的Z变换信号流图：
x(n-1)表示延迟一拍,在数字系统中表示对于输入信号而言,即为上一次采样值,对于输出而言,即为上一次的输出值。
在时域中对于上述流图，用时域描述即为：
如果熟悉Z变换，则Z变换传递函数为：
上述数字滤波器，如果从编程的角度来看，x(n-1),表示上一次的信号，可能是来自ADC的上次采样，而y(n-1)则为上一次滤波器的输出值，对应就比较好理解x(n-N)就表示前第n次输入样本信号，而y(n-M)则为前第M次滤波器的输出。
说了这么多，只是为了更好的理解概念，只有概念理解正确，才能用争取。 概念理解这对工程师而言，非常之重要。
如何设计呢？
打开fdatool
MATLAB提供了非常容易使用的FDATool帮助我们设计数字滤波器，真正精彩的地方开始了，让我们拭目以待究竟如何一步一步设计并实施一个IIR滤波器。
首先打开MATLAB,在命令行中敲fdatool
弹出窗体就是fdatool了，如下：
在设计具体,有几个相关概念需要澄清：
Fs：采样率，单位为Hz,真实部署在系统中，请务必确保样本是按照恒定采样率进行采样，否则将得不到想要的效果。
Fpass: 通频带，单位为Hz,即系统中期望通过的最高频率。
Fstop: 截至频率，即幅频响应的-3dB处的频率，这个如不理解，请自行查阅相关书籍。
分贝dB: 这是一个无单位反应输出与输入倍数的一个术语。电学中分贝与放大倍数的转换关系为：
- A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi)；电压增益,Vo 为输出电压，Vi为输入电压
- A(I)(dB)=20lg(Io/Ii)；电流增益,Io 为输出电流，Ii为输入电流
- A(p)(dB)=10lg(Po/Pi)；功率增益，Po 为输出功率，Pi为输入功率
滤波器类型：这里有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可选。
- 巴特沃斯 Butterworth，也被称作最大平坦滤波器。巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有纹波。
- 切比雪夫 Chebyshev，是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。
- 椭圆 Elliptic，椭圆滤波器是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。
- ...这里就不一一介绍了，有兴趣可以去查信号处理书籍。
就其特点，这里对其中几种略作介绍：
- 巴特沃斯具有最平坦的通带。
- 椭圆滤波器衰减最快，但是通带、阻带都有波纹。
- 切比雪夫滤波器衰减比巴特沃斯快，但比椭圆滤波器慢，波纹区域可选择。
假设我们需要设计一个IIR滤波器，采样率为32000Hz, 有用信号频率在2000Hz内，设计IIR滤波器对信号进行数字滤波。这里为节省算力，我们指定滤波器的阶数，也即传递函数中N/M中的最大值，一般而言N大于M。
这里指定阶数为8阶，类型指定为巴特沃斯型IIR滤波器，输入阶数8阶，采样率32000Hz,截至频率设置为2000Hz然后点击Design Filter如下图所示：
其相频响应曲线如下：
除此之外，我们还可以将幅频与相频曲线放在一个频率坐标上去看设计结果：
导出滤波器参数，这里我们选择，
选择ASCII码
然后就得到了一个文件，保存2kHz_LPF.fcf，文件名随你喜欢。
文件内容如下：
% Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
% Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06
% Coefficient Format: Decimal
% Discrete-Time IIR Filter (real)
% -------------------------------
% Filter Structure : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections : 4
% Stable : Yes
% Linear Phase : No
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
至此设计工作就结束了，马上进入滤波器的部署测试阶段。
部署测试滤波器
到这里，没有经验的朋友可能会说，这么一堆参数我该咋用呢？
需要自己去写前面描述的计算公式吗？当然你也可以这么做，这里就不写了,ARM的CMSIS库已经帮大家设计好了种类繁多的数字信号处理函数实现了，而且经过了测试，这里直接拿来用即可。有兴趣自己写也不难，只要理解Z传递函数概念内涵，非常容易实现。这里我们采用32位浮点实现函数：arm_biquad_cascade_df1_f32。
该函数位于：CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c中
以及CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c
我们来看一看这个函数：
arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：
/*
*作用 :初始化滤波器
*S :指向浮点SOS级联结构的实例。
*numStages:滤波器中二阶SOS的数量
*pCoeffs :滤波器参数指针,参数按下列顺序存储
* {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
*pState :历史状态缓冲区指针
*/
void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
uint8_t numStages,
const float32_t * pCoeffs,
float32_t * pState)
{
/* Assign filter stages */
S->numStages = numStages;
/* Assign coefficient pointer */
S->pCoeffs = pCoeffs;
/* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));
/* Assign state pointer */
S->pState = pState;
}
arm_math.h 定义了须用到的结构体，对于本例相关的结构体为arm_biquad_casd_df1_inst_f32
typedef struct
{
unsigned int numStages; /*2阶节的个数，应为2*numStages. */
float *pState; /*状态系数数组指针，数组长度为4*numStages*/
float *pCoeffs; /*系数数组指针， 数组的长度为5*numStages.*/
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;
滤波器具体滤波函数为arm_biquad_cascade_df1_f32
/**
* *S ：指向浮点Biquad级联结构的实例.
* *pSrc ：指向输入数据块。
* *pDst ：指向输出数据块。
* blockSize：每次调用要处理的样本数。
* 返回值 ：无.
*/
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
float * pSrc,
float * pDst,
unsigned int blockSize)
{
float *pIn = pSrc; /*源指针 */
float *pOut = pDst; /*目的指针 */
float *pState = S->pState; /*状态指针 */
float *pCoeffs = S->pCoeffs; /*参数指针 */
float acc; /*累加器 */
float b0, b1, b2, a1, a2; /*滤波器参数 */
float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2; /*滤波器状态变量*/
float Xn; /*临时输入 */
unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循环计数 */
do
{
/* Reading the coefficients */
b0 = *pCoeffs++;
b1 = *pCoeffs++;
b2 = *pCoeffs++;
a1 = *pCoeffs++;
a2 = *pCoeffs++;
Xn1 = pState[0];
Xn2 = pState[1];
Yn1 = pState[2];
Yn2 = pState[3];
sample = blockSize >> 2u;
while(sample > 0u)
{
/* 读第一个输入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次计算输出后，状态都应更新. */
/* 状态应更新为: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* Read the second input */
Xn2 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次计算输出后，状态都应更新. */
/* 状态应更新为: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/*读第三个输入 */
Xn1 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次计算输出后，状态都应更新. */
/* 状态应更新为: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* 读第四个输入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次计算输出后，状态都应更新. */
/* 状态应更新为: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
/* 递减循环计数器 */
sample--;
}
/* 如果blockSize不是4的倍数，
*请在此处计算任何剩余的输出样本。
*不使用循环展开. */
sample = blockSize & 0x3u;
while(sample > 0u)
{
/* 读取输入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
*pOut++ = acc;
/* 每次计算输出后，状态都应更新。 */
/* 状态应更新为: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
Yn2 = Yn1;
Yn1 = acc;
/* d递减循环计数器 */
sample--;
}
/* 将更新后的状态变量存储回pState数组中 */
*pState++ = Xn1;
*pState++ = Xn2;
*pState++ = Yn1;
*pState++ = Yn2;
/*第一阶段从输入缓冲区到输出缓冲区. */
/*随后的numStages在输出缓冲区中就地发生*/
pIn = pDst;
/* 重置输出指针 */
pOut = pDst;
/* 递减循环计数器 */
stage--;
} while(stage > 0u);
}
开始测试：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
/*
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
做如下转换：
1.缩放
[1 2 1] * 0.035416141341387819
[1 2 1] * 0.031387100113383172
[1 2 1] * 0.028873109331868367
[1 2 1] * 0.027673522765052503
得到：
[0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819]
[0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172]
[0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367]
[0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503]
2.舍掉第四列参数
3.将后两列分别乘以-1，即：
0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
这样就得到了滤波器系数组了
*/
#define IIR_SECTION 4 /*见前面设计输出为4个SOS块*/
static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*历史状态缓冲区 */
const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461, 0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635, 0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591, 0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
};
static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
/*假定采样512个点*/
#define BUF_SIZE 512
#define PI 3.1415926
#define SAMPLE_RATE 32000 /*32000Hz*/
int main()
{
float raw[BUF_SIZE];
float raw_4k[BUF_SIZE];
float raw_out[BUF_SIZE];
float raw_noise[BUF_SIZE];
float raw_noise_out[BUF_SIZE];
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
if(pFile==NULL)
{
printf("file opened failed");
return -1;
}
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
/*模拟9000Hz输入信号 */
raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
/*模拟9000Hz +11000Hz叠加输入*/
raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
}
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
}
/*重新初始化*/
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
}
fclose(pFile);
return 0;
}
利用csv文件，将模拟数据存储，直接用excel打开，将行数据生成曲线图如下：
- 第一幅图，为800Hz信号混入随机噪声的波形
- 第二幅图，为4000Hz信号，对假定系统为无用干扰信号
- 第三幅图， 为800Hz 混入随机噪声过滤后，已经很好的还原有用信号频率
- 第四幅图， 为800Hz信号混入随机噪声，同时叠加4000Hz干扰的波形，对系统而言，从时域中，明显可见，有用信号已经完全扭曲
- 第五幅图，为800Hz信号混入随机噪声，同时叠加4000Hz干扰的输入，经过该低通滤波器后的波形，与第三幅图基本一样，已经非常好的滤除了干扰信号。
总结：
-
IIR滤波器在线性时不变系统中可以很好的解决工程中一般噪声问题
-
如果需要设计带通、高通滤波器其步骤基本类似，只是滤波器的参数以及SOS块个数可能不一样而已
-
需要提醒的时，IIR的相频响应不线性，如果系统对相频响应有严格要求，就需要采用其他的数字滤波器拓扑形式了
-
实际应用中，如果阶数不高时，现在算力强劲的单片机或者DSP以及可以直接使用浮点处理。
-
如果对处理速度有严格的实时要求，需要在极短时间进行滤波处理，可以考虑降低阶数，或采用定点IIR滤波算法实现。也或者将文中函数进行汇编级优化。
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