傅里叶级数

 

 

前导知识：高中数学，高等数学。

学习阶段：大学数学，积分变换。

前置知识：微积分、线性代数、复变函数。

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/108017728

 

我们是如何区分开两个同时说话的人的声音的？要知道，声音本质是一种机械波，波具有叠加性，同时说话的两个人的声波叠加之后是一种混乱的波形，人却能自然而然地把它们分离开，知道哪部分声音是同一个人发出的，这其中有什么原理？

实际上，不同人说话的声波有不同的特性。男人声音低沉，也即声波频率较低；女人声音尖亮，也即声波的频率较高。声波的频率不同，则音调不同，听感也不同。同一个人说话声音的频率相近，把混合声波

中频率相近的部分分离出来，就能得到每个人各自说话的波形。人的耳朵和大脑自带这个功能，但是这个原理在数学上具有相当的难度，很晚（19世纪）才被傅里叶等人提出来。

积分变换在信号处理、音频处理、图像处理、解微分方程等领域有着重要的作用。

对于一个值随时间变化的函数 f(t)，傅里叶变换告诉我们如何从中分解出频率不同的部分。傅里叶级数是局部的傅里叶变换，用离散频率的周期函数来线性表示一定区间上的 f(t) ，它是考虑无穷区间的傅里叶变换的基础。

 

 

 

 

 

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傅里叶级数  转自  https://zhuanlan.zhihu.com/p/609597010

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦（zhèng xián）函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

 

 

傅里叶级数的公式：

 其中：

 为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

１、把一个周期函数表示成三角级数：

　　首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：

 这里 t  表示时间， A 表示振幅， w 为角频率， Ψ为初相（与考察时设置原点位置有关，可以理解为一个常量）。

然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅里叶就想，能否用一系列的三角函数

 之和来表示那个较复杂的周期函数 f(t) ？因为正弦函数 sin 可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：

 这里，t 是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个 n，且 n 从 1 到无穷大。这里 f(t) 是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即

），当然还有一项常数项（即 ）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。

这里强调一下，傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率

,之后的角频率必须是的整数倍， 这就是DTF（离散傅里叶变化）中的角频率取值的原则。       

 

 因为

是个常数， 也是常数。解过常微分方程的人都知道，方程中的常数能整合到一起就整合到一起。

 

于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形：

 这个变化并不陌生，源自于三角公式：

 式中，蓝色项即为我们需要合并的常数项，

记：

 这样，公式{5}就可以写成如下公式{6}的形式：

 

到了这一步我们只要解出的值即可。

2、麦克劳林公式中的待定系数法：