离散数学 第二章 谓词逻辑 2-2 命题函数与量词

为了说明命题函数的概念，下面先举例解释命题与谓词的关系。

设h是谓词“能够到达山顶”，l表示客体名称李四，t表示老虎，c表示汽车，那么h（l）
，h（t），h（c）等分别表示各个不同的命题，但他们有一个共同的形式，即h（x）。
当x分别取l，t，c时就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山顶”，“汽车能
够到达山顶”。

同理，若l（x，y）表示“x小于y”，那么l（2，3）表示了一个真命题：“2小于3”。
而l（5，1）表示假命题：“5小于1”。

又如a（x，y，z）表示了真命题“3+2= 5” ，而a（1，2，4）表示了一个假命题“1+
2= 4” 。

从上述三个例子中可以看到h（x），l（x，y），a（x，y，z）本身不是一个命题，只
有当变元x，y，z等取特定的客体时，才确定了一个命题。

定义2-2·1 由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。

根据这个定义可以看到，n元谓词就是有n个客体变元的命题函数，当n=0时，称为0元
谓词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。

由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命题函数。

逻辑联结词┓，∧，∨，→，«，的意义与命题演算中的解释完全类同。

例1 设s（x）表示“x学习很好”，用w（x）表示“x工作很好”。则┓s（x）表示“
x学习不是很好”。s（x）∧w（x）表示“x的工作，学习都很好”。s（x）→w（x）
表示“若x的学习很好，则x工作得很好”。

例2 用h（x，y）表示“x比y长得高”。设l表示李四，c表示张三。

则┓h（l，c）表示“李四不比张三长得高”。┓h（l，c）∧h（c，l）表示“李四
不比张三长得高”且“张三不比李四长得高”即“张三与李四同样高”。

例3 设q（x，y）表示“x比y重”，当x，y指人或物时，它是一个命题，但若x，y指
实数时，q（x，y）就不是一个命题。

命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。但是客体
变元在哪些范围内取特定的植，对是否成为命题及命题的真值极有影响。

例4 r（x）表示“x是大学生”，如果x的讨论范围为某大学里班级中的学生，则r（x）
是永真式。

如果x的讨论范围为某中学里班级中的学生，则r（x）是永假式。

如果x的讨论范围为一个剧场中的观众，观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些
观众，r（x）为真，对另一些观众，r（x）为假。

例5 （p（x，y）∧p（y，z））→p（x，z）

若p（x，y）解释为“x小于y”，当x，y，z都在实数域中取值，则这个式子表示为：
“若x小于y且y小于z，则x小于y”。这是一个永真式。

如果p（x，y）解释为“x为y的儿子”，当x，y，z都指人，则“若x为y的儿子且y是
z的儿子则x是z的儿子”。这个式子表达的是一个永假公式。

如果p（x，y）解释为“x距离y 10米 ”，若x，y，z表示地面上的房子，那么“x距
离y 10米 且y距离z 10米 则x距离z 10米 ”。这个命题的真值将由x，y，z的具体
位置而定，它可能为t，也可能为f。

从上述两例可以看到，命题函数确定为命题，与客体变元的论述范围有关。在命题函
数中，客体变元的论述范围称作个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的，把
各种个体域综合在一起作为论述范围的域称全总个体域。

使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好的表达日常生活中的各种命题。例如：
s（x）表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工。那么s（x）可以表示某单位
职工都是大学生，也可以表示某单位存在一些职工是大学生。为了避免这种理解上的
混乱，因此需要引入量词，以刻划“所有的”和“存在一些”的不同概念。

例如（a）所有的人都是要呼吸的。

（b）每个学生都要参加考试。

（c）任何整数或是正的或是负的。

这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此，引入符号（∨x）或（x），
表示“对所有的x”。

若设m（x）：x是人，h（x）：x要呼吸。

p（x）：x是学生，q（x）：x要参加考试。

i（x）：x是整数，r（x）：x是正数，n（x）：x是负数。

则上述三例就记为：

（a）（∨x）（m（x）→h（x））

（b）（∨x）（p（x）→q（x））

（c）（∨x）（i（x）→（r（x）∨n（x）））

符号“∨x”称为全称量词，用来表示“对所有的”“每一个”“对任何一个”等。

另外还有一类量词记作（ヨx），表示“存在一些x”。

例如 （a）存在一个数是质数。

（b）一些人是聪明的。

（c）有些人早饭吃面包。

设p（x）：x是质数。

m（x）：x是人。

r（x）：x是聪明的。

e（x）：x早饭吃面包。

则上述三例可表示为：

（a）（ヨx）（p（x））

（b）（ヨx）（m（x）∧r（x））

（c）（ヨx）（m（x）∧e（x））

符号“ヨ”称为存在量词，可用来表达“存在一些”“至少有一个”“对于一些”等。

全称量词与存在量词统称为量词，在上述有关量词的例子中可以看出，每个由量词确定
的表达式，都与个体域有关。例如：（∨x）（m（x）→h（x））表示所有的人都要呼吸
，如果把个体域限制在“人类”这个范围内，那么亦可简单地表示为（∨x）（h（x））
。在这个例子中指定论域，不仅与表达形式有关，而且不同的指定论域会有不同的问题真
值。如设论域为“人类”则这个命题的真值为t，如果论域为自然数，则命题的真值为f。
为此，在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域。为了方便，我们将所有命题函
数的个体域全部统一，使用全总个体域。用了这个全总个体域后，对每一个客体变元的变
化范围，用特性谓词加以限制。一般地，对全称量词，此特性谓词常作蕴含的前件，对存
在量词，此特性谓词常作合取项。例如：在全总个体域中（∨x）（h（x））可写成（∨x）
（m（x）→h（x）），其中m（x）为h（x）的特性谓词。对（ヨx）（h（x））可写成
（ヨx）（m（x）∧h（x）），特性谓词m（x）限定了h（x）中变元的范围。