离散数学 第一章 命题逻辑 1-8推理理论

在数学和其他自然科学中，经常要考虑从某些前提a₁，a₂，…，a_n能够推导出什么结论。例如从分子学说，原子学说，能够得到什么结论，从光的波动学说，能得到什么结论等等。我们一般地要对〃假设〃的内容作深入分析，并推究其间的关系，从而得到结论。但也有一些道理，只需分析假设中的真值和联结词，便可获得结论。

在实际应用的推理中，我们常常把本门学科的一些定律、定理和条件，作为假设前提，尽管这些前提在数理逻辑中实非永真，但在推理过程中，却总是假设这些命题为t，并使用一些公认的规则，得到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。

定义1-8。1 设a和c是两个命题公式，当且仅当a→c为一重言式，既aþc，称c是a的有效结论。或c可由a逻辑地推出。

这个定义可以推广到有n个前提的情况。

设 h₁, h₂, …,h_n，c是命题公式，当且仅当
　　　　　 　h₁∧ h₂∧ …∧h_nþc 　　　　　（ａ） 称ｃ是一组前提h₁, h₂, …,h_n的有效结论。
    判别有效结论的过程就是论证过程，论证方法千变万化，但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。
 （１）真值表法

        设p₁, p₂, …,p_n 是出现于前提h₁, h₂, …, h_m和结论c中的全部命题变元，假定对p₁, p₂, …, p_n作了全部的真值指派，这样就能对应地确定h₁, h₂, …, h_m和c的所有真值，列出这个真值表，即可看出（a）式是否成立。
    因为若从真值表上找出h₁, h₂, …, h_m真值均为t的行，对于每一个这样的行，若c也有真值t，则上述蕴涵式成立；或者找出c的真值为f的行，对于每一个这样的行，h₁, h₂, …, h_m的真值中至少有一个为f，则上述蕴涵式也成立。
   现举例说明如下：
   例题１一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠，或者是由于计算机有错误；这份统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。
     解　设各命题变元为
　 　　         ｐ：统计表格的错误是由于材料不可靠。
　 　　         ｑ：统计表格的错误是由于计算有错误。
       本例可译为：ｑ是前提ｐ∨ｑ，┓ｐ的有效结论，即　┓p∧（p∨q）þｑ
    我们列出真值表１－８.1如下：

表１－８.1

p	q	p∨q	┓p
t	t	t	f
t	f	t	f
f	t	t	t
f	f	f	t

从表上看到只有在第三行 p∨q和 ┓p的真值都为t，这时q的真值亦为t。故（ p∨q）∧ （┓p）þ q成立。或者考察q的真值为f的情况，在第二行和第四行，其相应的 p∨q或 ┓p中至少有一真值为f，故亦说明       （ p∨q）∧ （┓p）þ q成立.

          例题2  如果张老师来了，这个问题可以得到解答，如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之张老师或 李老师来了，这个问题就可得到解答。
      解  若设 p：张老师来了。
　　　　       q：李老师来了。
　　　　       ｒ：这个问可以得到解答。
      上述语句可翻译成下述命题关系式
　　        （p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）∧（ p∨q）þｒ
     列出真值表1-8.2如下

表1-8.2

p	q	r	p→ｒ	ｑ→ｒ	p∨q
t	t	t	t	t	t
t	t	f	f	f	t
t	f	t	t	t	t
t	f	f	f	t	t
f	t	t	t	t	t
f	t	f	t	f	t
f	f	t	t	t	f
f	f	f	t	t	f

从真值表看到，p→ｒ，ｑ→ｒ， p∨q 的真值都为t的情况为第一行、第三行和第五行，而在这三行中r的真值均为t。故
    （p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）∧（ p∨q）þｒ

（2）直接证法

直接证法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或蕴涵公式，推演得到有效的结论。
p规则前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。
    t规则在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵着公式s，则公式s可以引入推导中。
    现将常用的蕴涵式和等价式列入表1-8.3和表1-8.4中。

例题1 证明 （ p∨q）∧（p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）þs∨r
证法1  （1）p∨q　　　　　  ｐ
　　　 （２）┓p→q　　　　 ｔ（１）ｅ
　　　 （３）ｑ→ｓ　　　　 ｐ
　　　 （４）┓p→ｓ　　　  ｔ（２），（３）１

表1-8.3

i1	p∧qþp
i2	p∧qþq
i3	pþp∨q
i4	qþp∨q
i5	┓pþp→q
i6	qþp→q
i7	┓（p→q）þp
i8	┓（p→q）þ┓q
i9	p，qþp∧q
i10	┓p，p∨qþq
i11	p，p→qþq
i12	┓q，p→qþ┓p
i13	p→q，q→rþp→r
i14	p∨q，p→r，q→rþr
i15	a→bþ（a∨c）→（b∨c）
i16	a→bþ（a∧c）→（b∧c）

表1-8.4

e1	┓┓pûp
e2	p∧qûq∧p
e3	p∨qûq∨p
e4	（p∧q）∧rûp∧（q∧r）
e5	（p∨q）∨rûp∨（q∨r）
e6	p∧（q∨r）û（p∧q）∨（p∧r）
e7	p∨（q∧r）û（p∧q）∨（p∧r）
e8	┓（p∧q）û┓p∨┓q
e9	┓（p∨q）û┓p∧┓q
e10	p∨pûp
e11	p∧pûp
e12	r∨（p∧┓p）ûr
e13	p∧（p∨┓p）ûr
e14	r∨（p∨┓p）ût
e15	p∧（p∧┓p）ûf
e16	p→qû┓p∨q
e17	┓（p→q）ûp∧┓q
e18	p→qû┓q→┓p
e19	p→（q→r）û（p∧q）→r
e20	p«qû（p→q）∧（q→p）
e21	p«qû（p ∧q）∨（┓p∧┓q）
e22	┓（p«q）ûp«┓q

（5）┓s→p　　　　　　ｔ（４）ｅ
（６）ｐ →ｒ　　　　　ｐ
（７）┓s→ｒ　　　　 ｔ（５），（６）ｉ
（８）ｓ∨ｒ　　　　　 ｔ（７）ｅ

证法2    （1）p →ｒ 　　　　　　　 ｐ
　　　                 （２）ｐ ∨ｑ→ｒ∨ｑ　　  ｔ（１）ｉ
　　　                 （３）ｑ→ｓ　　　　　　　ｐ
　　　                 （４）ｑ∨ｒ→ｓ∨ｒ　　　ｔ（３）ｉ
　　　                 （５）ｐ∨ｑ→ｓ∨ｒ　　　ｔ（２），（４）ｉ
　　　                 （６）ｐ∨ｑ　　　　　　　ｐ
　　　                 （７）ｓ∨ｒ　　　　　　　ｔ（５），（６）ｉ

例题2 证明 （w∨r）→v，v→c∨s，s→u，┓c∧┓uþ┓w
证明 （1） ┓c∧┓u 　　　　　   ｐ
　　 （2）　┓u　　　　　　　    ｔ（１）ｉ
　　 （３）s→u　　　　　　　    ｐ
　　 （４）┓ｓ　　　　　　　    ｔ（２），（３）ｉ
　　 （５）┓c　　　　　　　　   ｔ（１）ｉ
　　 （６）┓c∧┓ｓ　　　　　   ｔ（４），（５）ｉ
　　 （７）┓（c∨s）　　　　    ｔ（６）ｅ
　　 （８）（w∨r）→v　　　　   ｐ
　　 （９）v→（c∨s）　　　　   ｐ
　　 （１０）（w∨r）→（c∨s）　ｔ（８），（９）ｉ
　　 （１１）┓（w∨r）　　　　　ｔ（７），（１０）ｉ
　　 （１２）┓ｗ∧┓ｒ　　　　　ｔ（１１）ｅ
　　 （１３）┓ｗ　　　　　　　　ｔ（１２）ｉ

（3）间接证法

定义1-8.2 假设公式h₁, h₂, …, h_m中的命题变元为p₁, p₂, …, p_n，对于p₁, p₂, …, p_n的一些真值指派，如果能使h₁∧ h₂∧ …∧h_m的真值为t，则称公式h₁, h₂, …, h_m是相容的。如果对于p₁, p₂, …, p_n的每一组真值指派使得h₁∧ h₂∧ …∧h_m的真值均为f，则称公式h₁, h₂, …, h_m是不相容的。
   现在可把不相容的概念应用于命题公式的证明。
    设有一组前提h₁, h₂, …, h_m，要推出结论c，即证h₁∧ h₂∧ …∧h_mþc，记作sþc,既┓c→┓s为永真，或c∨┓s为永真，故┓c┓s为永假。因此要证明h₁∧ h₂∧ …∧h_mþc，只要证明h₁, h₂, …, h_m与┓c是不相容。

例题3 证明a→b，┓（b∨c）可逻辑推出┓a
　            证明    （1）a→b　　　　　         　ｐ
　　　                （2）a 　　　　　　           ｐ（附加前提）
　                    （3）┓（b∨c）　　　        　p
                      （4）┓ｂ∧┓ｃ 　　　　　     t（3）e
                      （5）b　　　　　　　　　     　t（1），（2）i
                      （6）┓ｂ　　　　　　　　　    ｔ（４）ｉ
                      （7）ｂ∧┓ｂ（矛盾）　　　     t（5），（6）i

例题4 证明 （p∨q）∧（p→r）∧（q→s）þ　s∨r
证明     （1）┓（s∨r）　　　p（附加前提）
         （2）┓s∧┓r　　　　　t（1）e
         （3）p∨q　　　　 　　　p
         （4）┓p →q　　　　　　t（3）e
         （5）q→s　　　　　　　　p
         （6）┓p→s　　　　　　　t（4），（5）i
         （7）┓s→p　　　　　　t（6）e
         （8）（┓s∧┓r）→（p∧┓r）　　　ｔ（7）i
         （9）p∧┓r　　　　　　　　t（2），（8）i
        （10）p→r　　　　　　　　p
        （11）┓p ∨r　　　　　　t（10）e
        （12）┓（p ∨┓r）　　　　t（11）e
        （13）（p∧┓r）∧┓（p ∧┓r）（矛盾） t（9），（12）i

间接证法的另一种情况是：若要证h₁∧ h₂∧ …∧h_mþ（r→c）。设h₁∧ h₂∧ …∧h_m为s，
即证sþ（r→c）或sþ（┓r∨c），故s→（┓r∨c）为永真式。因为s→（┓r∨c）û┓s∨（┓r∨c）û（┓s∨┓r）∨cû┓（s∧r）∨cû（s∧r）→c，所以若将r作附加前提，如有（s∧r）→c，即证得s þ（r→c）。由（s∧r）þc，证得sþ（r →c）称为cp规则。

例题5 证明a→（b→c），┓d∨a，b重言蕴涵d→c
证明   （1）d　　　　　　p（附加前提）
       （2）┓d∨a 　　　　　　p
       （3）a　　　　　　　　　t（1），（2）i
       （4）a→（b→c）　　　　ｐ
       （5）b →c　　　　　　　t（3），（4）i
       （6）b　　　　　　　　　p
       （7）c　　　　　　　　　t（5），（6）i
       （8）d →c　　　　　　　cp

例题6 没有下列情况结论是否有效？
（a） 或者是天晴，或者是下雨。
（b） 如果是天晴，我去看电影。
（c） 如果我去看电影，我就不看书。
结论：如果我在看书则天在下雨。

解   若设 m：晴天。
q：下雨。
s：我看电影。
r：我看书。

故本题即证：m∨q，m→s，s→┓r，推出r→q
因为 （m∨q）û┓（m«q）
（1）r　　　　              p（附加前提）
（2）s→┓p 　               p
（3）p→┓s　                t（2）e
（4）┓s　　                　t（1）（3）i
（5）m→s　                 　p
（6）┓m　　　                t（4），（5）i
（7）┓（m→←q）　　        　p
（8）m→←┓q　　　　        　t（7）e
（9）（m→┓q）∧（┓q→m）　　t（8）e
（10）┓q→m　　　　　　　　   t（9）i
（11）┓m→q　　　　　　　　   t（10）e
（12）q 　　　　　　　　　　   t（60，（11）i
（13）r→q　　　　　　　　　  cp