[51nod1035]最长的循环节

题意：输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

解题关键：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25311.pdf

https://wenku.baidu.com/view/bf86107f11661ed9ad51f01dc281e53a580251a0.html

论文题，1/x的循环节长度  可转化为  已知整数n,求最小的k使10^k ≡1 (mod n)，k<=x。

然后暴力即可。

循环节的长度确实与分子完全无关，只要分数的分母不变，循环节的长度就不会变。

注意：

1、分数必须为既约真分数。

2、把x中的2和5的因式全部去掉，这样不影响循环节长度，剩下的因式记为n1。

3、根据循环小数化为分数的方法，分母必然是99…9（k个9）=10^k-1，并且n1必然整除10^k-1，这样问题就转化为求满足10^k≡1 (mod n1)的最小正整数k。

4、循环小数化为分数的方法：

1/9=0.11111111111111111111…….对吧
假设有一个循环小数0.345634563456………
其中循环的是3456,从1/9怎样可以过度到0.3456…（3456循环）呢.我们可以把0.3456….（3456循环）看作是0.1…（1循环）中每四个1为一组的1111变成了3456,因此只需要给0.1..（1循环）乘以3456/1111就可以了.即1/9×3456/1111
同理可以得出如下规律：
0.259……（259循环）就可以写成1/9×259/111
0.123456……（123456循环）就可以写成1/9×123456/111111
0.205802713……（205802713循环）就可以写成1/9×205802713/111111111
以此类推这公式不言而喻了
0.a…b（a…b循环）=1/9×a…b/1…1=a…b/9…9
（说明：a…b代表一串数字,9…9的位数与a…b的位数相同）
如果碰上了这样的循环小数：
0.3456142857…（142857循环）怎么办呢,这里3456是不循环的
我们进行假设,如果知道了0.00001…（1循环）的分数是什么的话直接给他乘以142857/111111在加上不循环的0.3456即3456/10000的话就可以得出结果了
那么0.00001…（1循环）是多少呢
很显然0.1…（1循环）减去0.1111就是我们要的结果,也就是1/9-1111/10000
那么最后结果就是：
（1/9-1111/10000）×142857/111111+3456/10000
（1×10000-1111×9）/（9×10000）×（142857/111111）+3456/10000
（1/90000）×（142857/111111）+3456/10000
142857/（90000×111111）+3456/10000
（142857+3456×9×111111）/（90000×111111）
（142857+3456×999999）/（90000×111111）
（142857+3456×（1000000-1））/（90000×111111）
（142857+3456×1000000-3456）/（90000×111111）
（3456142857-3456）/9999990000
以此类推这公式也不言而喻了
设循环小数
0.c…da……b（a……b循环）
说明：c…d与a……b代表各自一串数字,a……b为循环部分,c…d为不循环部分,为了区别循环部分与不循环部分的位数,分别以……代表同a……b循环部分相同的数位,以…代表同c…d不循环部分相同的数位,
0.1（1循环）减去0.1…1就是0.0…01（1循环）
0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是
（1/9-1…1/10…0）×a……b/1……1+c…d/10…0
然后来化简
（1×10…0-1…1×9）/（9×10…0）×（a……b/1……1）+c…d/10…0
（1/90…0）×（a……b/1……1）+c…d/10…0
a……b/（90…0×1……1）+c…d/10…0
（a……b+c…d×9×1……1）/（90…0×1……1）
（a……b+c…d×9……9）/（90…0×1……1）
（a……b+c…d×（10……0-1））/（90…0×1……1）
（a……b+c…d×10……0-c…d）/（90…0×1……1）
（c…da……b-c…d）/9……90…0
0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是
（c…da……b-c…d）/9……90…0,其中……代表同a……b循环部分相同的数位,以…代表同c…d不循环部分相同的数位

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
//sqrt(n)求欧拉函数值
ll euler_phi(int n){
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n!=1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}

ll mod_pow(ll x,ll n,ll p){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    ll ans=0,tmp=0,res=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ll t=euler_phi((int)i);
        tmp=0;
        for(int j=1;j<=t;j++){
            if(t%j==0){
                if(mod_pow(10,j,i)==1){
                    tmp=j;
                    break;
                }
            }
        }
        if(tmp>ans){
            ans=tmp;
            res=i;
        }
    }
    cout<<res<<"\n";
    return 0;
}