莫比乌斯函数筛法
莫比乌斯有两种反演形式：
\[\begin{array}{l}
f(n) = \sum\limits_{d|n} {u(d)F(\frac{n}{d})} \\
f(n) = \sum\limits_{n|d} {u(\frac{d}{n})F(d)}
\end{array}\]
最简单筛法
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int mu[10005]; 5 int n=10000; 6 void sieve(){ 7 mu[1]=1; 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ 10 mu[j]-=mu[i]; 11 } 12 } 13 } 14 int main(){ 15 sieve(); 16 for(int i=1;i<=100;i++){ 17 cout<<mu[i]<<" "; 18 } 19 }
线性筛法：
1 const int maxn=60000+5; 2 bool vis[maxn]; 3 int prime[maxn],mu[maxn]; 4 void init_mu(int n){ 5 int cnt=0; 6 mu[1]=1; 7 for(int i=2;i<n;i++){ 8 if(!vis[i]){ 9 prime[cnt++]=i; 10 mu[i]=-1; 11 } 12 for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++){ 13 vis[i*prime[j]]=1; 14 if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;} 15 else { mu[i*prime[j]]=-mu[i];} 16 } 17 } 18 }
《挑战程序设计》例题：没有周期性的字符串函数的计数，用约数的反演形式
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int mu[10005]; 5 int n=10000; 6 void sieve(){ 7 mu[1]=1; 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ 10 mu[j]-=mu[i]; 11 } 12 } 13 } 14 int main(){ 15 sieve(); 16 while(cin>>n){ 17 int res=0; 18 for(int i=1;i<=n;i++){ 19 if(n%i==0){ 20 res+=mu[n/i]*pow(26,i); 21 } 22 } 23 cout<<res<<endl; 24 } 25 }
hdu1695 gcd
解法一：转化成gcd=1，用倍数的反演形式
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int mu[1050500]; 5 int n=1000000; 6 void sieve(){ 7 mu[1]=1; 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ 10 mu[j]-=mu[i]; 11 } 12 } 13 } 14 int main(){ 15 sieve(); 16 ll t,a,b,c,d,k,ans1,ans2; 17 cin>>t; 18 for(int i=1;i<=t;i++){ 19 ans1=ans2=0; 20 cin>>a>>b>>c>>d>>k; 21 if(b>d) swap(b,d); 22 if(k==0){ 23 printf("Case %d: 0\n",i); 24 continue; 25 } 26 b/=k,d/=k; 27 for(int j=1;j<=b;j++){ 28 ans1+=mu[j]*(b/j)*(d/j); 29 } 30 for(int j=1;j<=b;j++){ 31 ans2+=mu[j]*(b/j)*(b/j); 32 } 33 printf("Case %d: %lld\n",i,ans1-ans2/2); 34 } 35 return 0; 36 }
解法二：其实是一种思路，就是直接运用莫比乌斯反演公式，，只是想自己多练习一下而已。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int mu[1050500]; 5 int n=1000000; 6 void sieve(){ 7 mu[1]=1; 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ 10 mu[j]-=mu[i]; 11 } 12 } 13 } 14 int main(){ 15 sieve(); 16 ll t,a,b,c,d,k,ans1,ans2; 17 cin>>t; 18 for(int i=1;i<=t;i++){ 19 ans1=ans2=0; 20 cin>>a>>b>>c>>d>>k; 21 if(b>d) swap(b,d); 22 if(k==0){ 23 printf("Case %d: 0\n",i); 24 continue; 25 } 26 for(int j=k;j<=b;j+=k){ 27 ans1+=(ll)mu[j/k]*(b/j)*(d/j); 28 } 29 for(int j=k;j<=b;j+=k){ 30 ans2+=(ll)mu[j/k]*(b/j)*(b/j);//注意加括号 31 } 32 printf("Case %d: %lld\n",i,ans1-ans2/2); 33 } 34 return 0; 35 }
