离散对数的求解(bsgs)
bsgs算法
主要用来解决${A^x} = B(\bmod C)$(c是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。
例：poj 2417 Discrete Logging
具体步骤如下：
先把$x = i*m - j$，其中$m = ceil(\sqrt C )$，（ceil是向上取整）。
这样原式就变为${A^{(i*m - j)}} = B(\bmod C)$，
再变为${A^j}*B = {A^{(m*i)}}(\bmod C)$。
枚举j(范围0-m),将${A^j}*B$存入hash表
枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第一个满足${A^j} * B = {A^{(m * i)}}(\bmod C)$。
此时$x = i*m - j$即为所求。
在网上看到的其他题解大多用的是$x = i*m + j$，也可以做，只是会牵扯的求逆元，所以比较麻烦。使$x=i*m-j$就可以轻松避免这个问题了。
那么肯定有人会有疑问为何只计算到$m = ceil(\sqrt C )$就可以确定答案呢？
$x = i*m - j$ 也就是x 的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ？
有一个公式 ${a^{k\bmod (p - 1)}} = {a^k}(\bmod p)$ 这个公式的推导需要用到费马小定理
$k\bmod p - 1$可以看做 $k - m*(p - 1)$ ,原式可化成 ${a^k}/{({a^{(p - 1)}})^m} = {a^k}(\bmod p)$
根据费马小定理 ${a^{(p - 1)}} = 1(\bmod p)$其中p为质数 ，a,p 互质，可得${a^k}/{1^m} = {a^k}(\bmod p){a^k} = {a^k}(\bmod p)$得证
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 ll q=2147483647,a=3,yy,y2,m,ans,t; 10 map<ll,int>mp; 11 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){ 12 ll res=1; 13 while(n>0){ 14 if(n&1) res=res*x%mod; 15 x=x*x%mod; 16 n>>=1; 17 } 18 return res; 19 } 20 21 int main(){ 22 while(~scanf("%lld%lld",&yy,&y2)){ 23 mp.clear(); 24 m=ceil(sqrt(q)); 25 for(ll i=0;i<=m;i++){ 26 if(i==0){ 27 ans=yy%q; 28 mp[ans]=i; 29 continue; 30 } 31 ans=ans*a%q; 32 mp[ans]=i; 33 } 34 bool flag=false; 35 ans=1; 36 t=mod_pow(a,m,q); 37 38 39 for(int i=1;i<=m;i++){ 40 ans=ans*t%q; 41 if(mp[ans]){ 42 ll temp=i*m-mp[ans]; 43 ll rr=mod_pow(y2,temp,q); 44 printf("%lld\n",rr); 45 flag=true; 46 break; 47 } 48 } 49 if(!flag){ 50 printf("No Solution\n"); 51 } 52 } 53 return 0; 54 }
