02-偏导数、方向导数、梯度和微积分（转）

一、偏导数

对于一元函数y=f(x)只存在y随x的变化，但是二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率，随y变化的变化率，随x﹑y同时变化的变化率。如下图所示

　　

1、偏导数定义

设函数$z=f(x,y)$在点(x₀,y₀)的某个邻域内有定义，定y=y₀，一元函数$f(x_0,y_0)$在点x=x₀处可导，即极限$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A$。

则称A为函数$z=f(x,y)$在点(x₀,y₀)处关于自变量x的偏导数。记作：$f_x(x_0,y_0)$、$\frac{\partial z}{\partial x}|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$、$\frac{\partial f}{\partial x}|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$或者$z_x|{}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$

2、几何意义：

偏导数$f_x(x_0,y_0)$就是曲面被平面$y=y_0$所截得的曲线在点M₀处的切线M₀T_x对x轴的斜率，偏导数$f_y(x_0,y_0)$就是曲面被平面$x=x_0$所截得的曲线在点M₀处的切线M₀Ty对y轴的斜率。如下图所示

　　

3、例题

求$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$在点（1，2）的偏导数。

　　

二、方向导数

1、介绍

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。现在假设如下图所示，有两火苗分别沿x、y轴蔓延，问蚂蚁沿什么方向跑才能存活？

　　

可以很容易想到沿矩形的对角线跑。现在有函数$z=f(x,y)$

　　

可以得出距离$\left|P{P}^{\prime }\right|=\rho =\sqrt{\left(\Delta x^2\right)+\left(\Delta y^2\right)}$，然后可以得出函数值的增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$。

如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数，用公式表达就是$\frac{\partial f}{\partial l}=\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$

特别的，函数$f(x,y)$在X轴正向$\overrightarrow{e_1}$={1,0}，Y轴正向$\overrightarrow{e_2}$={0,1}的方向导数分别为$f_x,f_y$，负方向导数为$-f_x,-f_y$

2、定理

如果函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在，公式表达为$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \phi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \phi$，$\phi$为X轴到L的角度。

　　

3、例题

求函数$z=x{e}^{2y}$在点$P(1,0)$处沿从点$P(1,0)$到点$Q(2,-1)$的方向的方向导数。

示意图如下：

　　

求解过程如下：

　　

三、梯度

1、梯度

函数$z=f(x,y)$在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点$P(x,y)$都有向量$\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{j}$，则其称为函数在点P的梯度。梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。用公式表达来就是：

$gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{j}$。

设$\overrightarrow{e}=\cos \phi \overrightarrow{i}+\sin \phi \overrightarrow{j}$是方向L上的单位向量。

由方向导数公式可知：$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \phi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \phi =\{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\}\cdot \{\cos \phi ,\sin \phi \}=gradf(x,y)\cdot \overrightarrow{e}=\left|gradf\right(x,y\left)\right|\cos \theta$。

其中$\theta =\left(gradf\right(x,y),\overrightarrow{e})$。

2、结论

只有$\cos \left(gradf\right(x,y),\overrightarrow{e})=1$，$\frac{\partial f}{\partial l}$才有最大值。

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致，从而而它的模正好是最大的方向导数，也就是方向导数的最大值。

　　

3、例题

设$u=xyz+x^2+5$，求grad$u$，并求在点$M(0,1,-1)$处方向导数的最大（小）值。

　　

4、小结

（1）、方向导数的概念，注意方向导数与一般所说偏导数的区别
（2）、注意梯度其实是一个向量。
（3）、方向导数与梯度的关系，梯度的方向就是函数f(x，y)在这点增长最快的方向，梯度的模就是方向导数的最大值。

四、微积分

1、介绍

微积分诞生于17世纪，主要帮助人们解决各种速度，面积等实际问题，如下图所示，怎么才能求得曲线的面积呢？

　　

首先对于一个矩形来说，我们可以轻松求得其面积，那能不能用矩形代替曲线形状呢？如果能行的话，那应该用多少个矩形来代替曲线呢？

 　　

在ab之间插入若干个点，这样就得到了n个小区间，这样的话每一个小矩形的面积为：$A_i=f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i$，这样的话对每个小矩形的面积求和的话就可以近似得到曲线的面积：$A\approx \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i$

 　　

当分割无限加细，每个小区间的最大长度为$\lambda$，此时$\lambda \to 0$。由此可得曲线的面积为：$A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i$

从求和角度来看，我们需要尽可能的将每一个矩形的底边无穷小，而莱布尼兹为了体现求和的感觉，给S拉长了，简写成$\int f\left(x\right)dx$

　　

2、微分：

由于无穷小的概念，dx,dy都叫做微分。所谓微积分就是把这些微分积起来。

　　

微分是什么？其实很简单，用两个式子就可以很简单的描述了：$\underset{\Delta x\to 0}{lim}dy=0,\underset{\Delta x\to 0}{lim}dx=0$

　　

3、定积分

当|Δx|—>0时，总和S总是趋于确定的极限I，则称极限I为函数f(x)在曲线[a，b]上的定积分

　　

其中，积分值和被积函数与积分曲线有关，与积分变量字母无关。

　　

当函数f(x)在区间[a，b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a，b]上可积。

4、定积分几何含义

面积的正负值：$\begin{array}{cc}f\left(x\right)>0,& {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=A\\ f\left(x\right)<0,& {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-A\end{array}$

也就是说如果定积分的值为正值，那它就表示曲边梯形的面积，如果求出来是负值的话，那它就表示曲边梯形的面积的负值

　　

5、定积分性质：

1、${\int }_a^b\left[f\right(x)\pm g(x\left)\right]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx.$

2、${\int }_a^{b}kf\left(x\right)dx=k{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$，k为常数。

3、假设a<c<b，则${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$。

4、如果在区间[a，b]上$f\left(x\right)⩾0$，则${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx⩾0.(a<b)$。

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