01-函数、极限、连续性、导数(转)

为了加深在人工智能、深度学习领域的学习，接下来会推出数学基础系列博客，加深自己在这领域的基础知识。

一、函数

1、函数的定义

函数表示量与量之间的关系如：$A=\pi r^2$。更普遍的是用$y=f\left(x\right)$表示，其中x表示自变量，y表示因变量。函数在x₀处取得的函数值$y_0=y{\mid }_{x=x_0}=f\left(x_0\right)$。值得一提的是，符号只是一种表示，也可以用其他符号来表示，比如：$y=g\left(x\right)$、$y=\phi \left(x\right)$、$y=\psi \left(x\right)$等。

2、常用函数形式

分段函数：$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x},& x⩾0\\ -x,& x<0\end{array}$

反函数：$h=\frac{1}{2}g{t}^2\to h=h\left(t\right)\to t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\to t=t\left(h\right)$

显函数：$y=x^2+1$

隐函数：$F(x,y)=0$，$3x+y-4=0$

3、函数特点

奇函数：相对于原点对称的函数$f(-x)=-f\left(x\right)$，如$f\left(x\right)=x^3$，代入计算可得$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$。

偶函数：相当于Y轴对称的函数$f(-x)=f\left(x\right)$，如$f\left(x\right)=x^2$，代入计算可得$f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$。

周期函数：经过一个周期T的变化函数值仍相等$f(x+T)=f\left(x\right)$，如常见的三角函数等。

单调性：分为单调递增函数和单调递减函数。

二、极限

1、数列

通俗的讲就是一列有序的数：$u_1,u_2,...,u_n,...$，其中$u_n$叫做通项。对于数列$\left\{u_n\right\}$，如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。$\underset{n\to \infty }{lim}{u}_n=A$，或$u_n\to A(n\to \infty )$，$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{3^n}=0$，$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n}{n+1}=1$，$\underset{n\to \infty }{lim}{2}^n$不存在。

2、极限

符号表示：

$x\to \infty$表示“当|x|无限增大时” ，

$x\to +\infty$表示“当x无限增大时” ，

$x\to -\infty$表示“当x无限减少时” ，

$x\to x_0$表示“当x从x₀的左右两侧无限接近于x₀时” ，

$x\to x_0^{+}$表示“当x从x₀的右侧无限接近于x₀时” ，

$x\to x_0^{-}$表示“当x从x₀的左侧无限接近于x₀时” ，

下面用几个示例图形象地表示极限

　

3、定义

函数在x₀的邻域内有定义，有$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$，或$f\left(x\right)\to A(x-x_0)$。例如$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$

4、左右极限

函数在左半邻域/右半邻域内有定义$(x_0,x_0+\delta ),(x_0-\delta ,x_0)$，有

　

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$的充要条件是$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=A$

有以下例题，求$f\left(x\right)$的极限

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x-1& x<0\\ 0& x=0\\ x+1& x>0\end{array}$

求解可得，当x->0时，f(x)的极限$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}(x+1)=1$，$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}(x-1)=-1$。左右极限存在但不相等，所以f(x)在x->0时极限不存在。

5、极限性质

无穷小：以零为极限，如函数$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x}=0$，$\frac{1}{x}$是$x\to \infty$时的无穷小。$\underset{x\to 2}{lim}(3x-6)=0$，$3x-6$是$x\to 2$时的无穷小。

基本性质：

1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

2.有限个无穷小的积仍是无穷小。

3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小。

4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

　

5.无穷小的商不一定是无穷小。$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{2x}=0,\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{x^2}=\infty$

6.极限有无限小的关系：$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$的充要条件是$f\left(x\right)=A+\alpha \left(x\right)$，其中$\alpha \left(x\right)$是$x\to x_0$时的无穷小。

7.无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\infty$或$f\left(x\right)\to \infty (x\to x_0)$。

8.无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果f(x)为无穷大，那么$\frac{1}{f\left(x\right)}$为无穷小。

9.无穷小的比较：$\alpha =\alpha \left(x\right),\beta =\beta \left(x\right)$都是无穷小，$\underset{x\to x_0}{lim}\alpha \left(x\right)=0,\underset{x\to x_0}{lim}\beta \left(x\right)=0$。有如下比较。

　

三、连续性

1、函数的连续性

设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量$\Delta x$趋近于0时，相应函数的改变量$\Delta y$也趋近于0，则称y=f(x)在点x₀处连续。

　

函数的连续性，函数f(x)在点x₀处连续，需要满足的条件：1、函数在该点有定义。2、函数在该点极限$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$存在。3、极限值等于函数值f(x₀)

例题，函数$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x+1& x⩽0\\ \frac{\sin x}{x}& x>0\end{array}$在x=0处的连续性？

解：判断左右界限是否存在且先等。如下图所示

　

2、函数的间断点

函数f(x)在点x=x₀处不连续，则称其为函数的间断点。一共三种情况为间断点：1、函数f(x)在点x₀处没有定义。2、函数在该点极限$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$不存在。3、满足前两点，但是$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x\right)$。

当x->x₀时，f(x)的左右极限存在，则称x₀为f(x)的第一类间断点，第一类间断点分为跳跃间断点和可去间断点，否则为第二类间断点。

跳跃间断点：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$与$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$均存在，但不相等。

可去间断点：$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$存在但不等于$f\left(x_0\right)$。

3、例题

函数$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的连续性？ 

　

四、导数

平均速度很好表示，如v=s/t，但是如何表示瞬时速度呢？

瞬时经过路程：$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)$

这一小段的平均路程：$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$

当$\Delta t\to 0$时也就是瞬时速度了，$v\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\overline{v}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$。

导数：如果平均变化率的极限存在， $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$，则称此极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)。$y^{\prime }{\mid }_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=x_0}$或$\frac{df\left(x\right)}{dx}{\mid }_{x=x_0}$。

下面列出常见函数的导数。

　

下面列出导数的运算法则（最后一条不经常用）：

　

 

 

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