【高中数学】三角函数、解三角形学习笔记

1 三角函数的定义

1.1 三角函数

在平面直角坐标系中，角 $\alpha$ 的终边和单位圆交于点 $P$，显然对于任意一个 $\alpha\in\text{R}$，$P(x,y)$ 是唯一确定的，故

• $P(x,y)$ 的纵坐标 $y$ 称作角 $\alpha$ 的正弦函数，记为 $\sin \alpha$；

• $P(x,y)$ 的横坐标 $y$ 称作角 $\alpha$ 的余弦函数，记为 $\cos \alpha$；

• $P(x,y)$ 的纵横坐标之比称作角 $\alpha$ 的正切函数，记为 $\tan \alpha$。

需要注意的是，$\tan \alpha$ 在 $\alpha\in\{\alpha|\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\text{Z}\}$ 上无意义。

1.2 三角函数线

如图，在单位圆中，角 $\alpha$ 终边和单位圆交于点 $P$，则有向线段 $\overrightarrow{AP}$ 即 $\alpha$ 的正弦线；有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 即 $\alpha$ 的余弦线；有向线段 $\overrightarrow{QR}$ 即为 $\alpha$ 的正切线。对应有向线段的模长即为 $\alpha$ 对应三角函数的绝对值。

当 $\alpha$ 在第二象限时，作出 $OP$ 的反向延长线交直线 $QR$ 于点 $R'$，则有向线段 $QR'$ 为 $\alpha$ 的正切线。

2 同角三角函数基本关系

2.1 商数关系

由三角函数的定义，可得 $\tan \alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$。

应用此公式，可以实现弦化切，切化弦。

2.2 平方关系

由三角函数线，可得 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$。

常用公式：$(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$。

3 三角函数 $A\sin(\omega x+\varphi )+b$ 的图像和性质

3.1 三角函数的图像和性质

3.1.1 正弦函数的图像

由诱导公式 $\sin(-\alpha)=-\sin \alpha$ 可知正弦函数 $y=\sin x$ 是奇函数。

由诱导公式 $\sin(2\pi+\alpha)=\sin \alpha$ 可知正弦函数 $y=\sin x$ 是最小正周期为 $2π$ 的周期函数。

由正弦的定义，可以知道正弦函数的对称轴方程是 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\text{Z}$，且正弦函数是有界函数，满足 $|\sin x|\le1$，当且仅当 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 时取到最值。

正弦函数的图像如下：

3.1.2 余弦函数的图像

由诱导公式 $\cos \alpha=\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})$，得到余弦函数的图像由正弦函数的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位长度得到。

由诱导公式 $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$ 知，余弦函数是偶函数。

3.2 三角函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi )$ 的图像和性质

对函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi )\ \ \ (\omega,A>0)$：

• 值域：$[-A,A]$

• 定义域：$\text{R}$

• 对称中心的求法：令 $\omega x+\varphi=k\pi,k\in\text{Z}$，解得 $x=\dfrac{k\pi-\varphi}{\omega}$

• 对称轴的求法：令 $\omega x+\varphi=\dfrac{k\pi}{2},k\in\text{Z}$，解得 $x=\dfrac{\dfrac{k\pi}{2}-\varphi}{\omega}$

• 单调增区间：内层函数 $t=\omega x+\varphi$ 显然为增函数，当外层函数 $y=\sin t$ 为增函数时，函数 $f(x)$ 单调增。又 $t\in[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}2k\pi]$，解 $x$ 的取值范围即可。

• 最小正周期：$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

4 三角恒等变换

4.1 和、差角公式

$C_{(\alpha+\beta)}:\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$；

$S_{(\alpha+\beta)}:\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$；

$T_{(\alpha+\beta)}:\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$；

$C_{(\alpha-\beta)}:\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$；

$S_{(\alpha-\beta)}:\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$；

$T_{(\alpha-\beta)}:\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$.

4.2 倍角公式

$S_{(2\alpha)}:\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$；

$C_{(2\alpha)}:\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$；

$T_{(2\alpha)}:\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$；

$S_{(3\alpha)}=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$；

$C_{(3\alpha)}=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$.

4.3 半角公式

$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}$；

$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$；

$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$.

4.4 辅助角公式

$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\beta)$，其中 $\tan\beta=\dfrac{b}{a}$；

$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\alpha+\beta)$，其中 $\tan\beta=\dfrac{a}{b}$.

4.5 降幂公式

$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}$；

$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$；

$\tan^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}$

4.6 和差化积公式

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$；

$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$；

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$；

$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.

4.7 积化和差公式

$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$；

$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$；

$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$；

$\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$.

5 解三角形

5.1 正弦定理

在 $\bigtriangleup \text{ABC}$ 中，

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，其中 $R$ 代表 $\bigtriangleup \text{ABC}$ 的外接圆半径。

证明：如下左图，$\bigtriangleup \text{ABC}$ 是 $\odot\text O$ 的外接圆且 $\odot\text O$ 的半径为 $R$，$BC$ 是 $\odot\text O$ 的直径。则 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{2R}{1}=2R$。如下右图，当 $AC$ 不是直径，有 $B=D$，故 $\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin D}=2R$。同理可证明正弦定理。

5.2 余弦定理

在 $\bigtriangleup \text{ABC}$ 中，

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$；

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$；

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

其推论：

$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$；

$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$；

$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

5.3 解三角形的应用

解三角形主要出现在高考大题第一题或第二题。

• 边化角、角化边

  对于齐次式，可以实现边化角、角化边。

  例如对于 $c\cos^2A-b\sin^2B=a\sin B\cos C$，可以化为 $\sin C\cos^2A-\sin^3 B=\sin A\sin B\cos C$.

  对于 $\sin A^2\cos B+\sin^2 C=\sin^2A$，可以化为 $a^2\cos B+c^2=a^2$.

• 化角消元

  在 $\bigtriangleup \text{ABC}$ 中，$A+B+C=\pi$，$\sin(A+B)=\sin C$，$\cos(A+B)=\cos C$。

  只要题目给出了一个角的大小或者给出两角关系，就可以用以上式子边化角后全部转化为一个角的式子，运用三角函数的知识解决题目。

  【例】$2022$ 新高考 $\texttt I$ 卷数学。

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