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柯西不等式学习笔记

1 柯西不等式、柯西不等式的推论

对于 $\forall a_i,b_i\in\text{R}, n\in\text{N}_+$ ，都有

$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$

取等条件是当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$ .

对于 $\forall a_i,x_i\in\text{R}^+, n\in\text{N}_+$ ，都有

$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{a_i^2}{x_i}\ge\dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)^2}{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)}$

取等条件是当且仅当 $\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\dfrac{a_3}{x_3}=...=\dfrac{a_n}{x_n}$ .

【例 1】已知 $a^2+b^2+3c^2-2d^2=6$ ，求 $(a+b+c+d)_{\text{max}}$ .
【分析】用柯西不等式解此题，就需要构造一个柯西不等式的形式，此题显然是四阶柯西不等式。不等号右边显然为 $a+b+c+d$ ，左边的第一个多项式为 $a^2+b^2+3c^2-2d^2$ ，那么只需要我们构造第二个多项式 $T$ ，使得 $T(a^2+b^2+3c^2-2d^2)$ 符合柯西不等式的形式。我们只要令 $a_1^2=a^2, a_2^2=b^2, a_3^2=3c^2,a_4^2=-2d^2$ ，然后根据关系配凑出多项式 $T$ .
【解】利用柯西不等式有： $(a^2+b^2+(\sqrt{3}c)^2-(\sqrt{2}d^2))(1^2+1^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2-(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2)\ge(a+b+c+d)^2$
则 $a+b+c+d\le\sqrt{17}$ ，当且仅当

$\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{\sqrt{3}c}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{\sqrt{2}d}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
时等号成立（我就不算啦，故 $(a+b+c+d)_{\text{max}}=\sqrt{17}$ .
【总结】利用柯西不等式，已知数的平方形式，要求各个数之和的最大值，只需要构造常数多项式使每一项和另一个多项式的对应项的乘积等于不等号右边对应项的平方。

【例 2】已知 $a,b,c,d\in\text{R}$ , 且 $a+b+c+d=3$ ， $a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5$ ，求 $a$ 的取值范围。
【分析】求 $a$ 的取值范围，只需要把 $a$ 当做参数放一边，其它项放另一边，联立一解即可。
【解】由题意得：

$\left\{\begin{matrix}b+c+d=3-a \\2b^2+3c^2+6d^2=5-a^2\end{matrix}\right.$
由柯西不等式：

$(2b^2+3c^2+6d^2)(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})\ge(b+c+d)^2,\ \ \text{iff.}4b^2=9c^2=36d^2\text{ 即 }a=\dfrac{11}{7},b=\dfrac{6}{7},c=\dfrac{3}{7}\text{ 时等号成立.}$
即

$5-a^2\ge (3-a)^2$
解得 $1\le a\le 2$ ，故 $a$ 的取值范围是 $[1,2]$ .

【例 3】已知 $x\in[1,2]$ ，求 $\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}$ 的最大值。
【分析】观察到 $(x-1)+(2-x)$ 为定值，可利用柯西不等式求最大值。
【解】由柯西不等式：

$((x-1)+(2-x))(1+4)\ge(\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x})^2,\ \ \text{iff.}\dfrac{2-x}{4}=\dfrac{x-1}{1}\text{ 即 }x=\dfrac{6}{5}\text{ 时等号成立.}$
解得 $\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}\ge\sqrt{5}$ ，故 $\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ .

【例 4】已知 $a,b,c\in\text{R}^+$ ，且 $a+2b+3c=1$ ，求 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 的最小值。
【分析】考虑式子是分式相加形式，符合权方和不等式的形式，可用权方和不等式求最值。考虑系数不同，故开头还要把系数换一下。
【解】原式变形为：

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{2b}+\dfrac{3}{3c}$
由权方和不等式：

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{2b}+\dfrac{3}{3c}\ge\dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+2b+3c}=6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6},\ \ \text{iff. }\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{2b}=\dfrac{3}{3c}\text{ 即 }a=b=c=\dfrac{1}{6}\text{ 时等号成立.}$
故 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 的最小值为 $6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$ .

【例 5】已知 $a,b,c\in\text{R}^+$ ，求证： $a^5+b^5+c^5\ge a^2b^2c+ab^2c^2+a^2bc^2$ .
【分析】观察到右边有公因式 $abc$ ，将其提出然后移到左边，正好变成了几个分式大于等于一个整体的形式，这正是权方和不等式的特点。所以此题可用权方和不等式解。
【解】原不等式左边化简为：

$\dfrac{a^4}{bc}+\dfrac{b^4}{ac}+\dfrac{c^4}{ab}$
由权方和不等式：

$\dfrac{a^4}{bc}+\dfrac{b^4}{ac}+\dfrac{c^4}{ab}\ge\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}, \ \ \text{iff.}\dfrac{a^4}{bc}=\dfrac{b^4}{ac}=\dfrac{c^4}{ab}\text{ 即 }a=b=c\text{ 时等号成立。}$
又

$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac, \ \ \text{iff. }a=b=c\text{ 时等号成立。}$
得证。