班课3

 

1. Karatsuba的算法中将大数分开，减少时间复杂度，但是若分的份数过多也会导致时间复杂度很高，所以引入the fast Fourier Transform

若有两个polynomial且最高次幂为n，将AB两部分合并成只有C，如下：

2. Complex number

若x轴表示实数，y轴表示虚数，则每个complex number都可以用一个向量(z=a+ib)表示

modulus为向量的长度以及arg(z)为与x轴的角度

z = |z|e^(i arg(z)) = |z|(cos arg(z) + i sin arg(z))

3. complex roots of unity

若z的n次方等于1，z一定存在5个解

第一点，转了n圈之后位置不变

第二点底数相同指数相加

第三点理解为减去尽可能多的n圈

4. DFT(the discrete fourier transform)

取A0到A(n-1)这n数分别作为polynomial前面的系数继而求complex roots of unity

 

5. 

 

需要FFT(fast fourier transform)计算P_A(w_nk), 时间复杂度为O(n logn)

6. FFT将polynomialP_A(x)分为偶数次方与奇数次方的两部分，对奇数部分提取一个x出来，另y=x^2，得到新的polynomial，不断迭代

通过这种方式减少roots of unity