欧拉七桥问题的一种证明（原创）

这是从网上下载的一张图片。

分析：

1定义：首先出度与入度之和为奇数的点叫为奇点。

2定理：一个点的|入度-出度|≤1，当该点为奇点时取等号。且对于某点而言，

若入度-出度=1，则该点必然终点；

若入度-出度=-1，则该点必然为起点

证明：同一个人不可能从同一个地方连续出去两次，也不可能从另外一个地方连续进入某个地方两次。

所以对于一个点而言，出度和入度必须交替进行，所以|入度-出度|≤1，该点为奇点时取等号。

倘若入度-出度=1，则行走过程必然为入-出-入-出-...-入。最后一步是入，入完过程终止，因此该点为终点。

倘若入度-出度=-1，则行走过程必然为出-入-出-...-出。第一步是出，之前没有过程，直接出发，因此该点是起点。

而对于入度=出度的点，当行走过程为入-出-入-...-出时，则该点只是一个经过点。

当行走过程为出-入-出-...-入，则该点同时是起点和终点。

3.由上述定理和定义，可以推出所有的奇点（即入度-出度=±1）不是起点就是终点。

而对于七桥问题中有四个奇点，与起点和终点之和最多有两个点矛盾。所以七桥问题无法无重复一次性走完。

 

推论1：若存在一个奇点，有且只有另一个奇点，他们一个是起点，一个是终点。

推论2：若没有奇点，则可以从任何点出发遍历全部路径，且该点既是起点也是终点。