Exercise: Linear Regression

题目地址： http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex2/ex2.html

题目给出的数据是一组2-8岁男童的身高。x是年龄，y是身高。样本数m=50.

使用gradient descent来做线性回归。

step1：数据准备。

加载数据：

>> x=load('ex2x.dat');

>> y=load('ex2y.dat');

可视化数据：

figure % open a new figure window
plot(x, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')

效果如下：

我们将模型设定为：

H_θ(x) = θ₀ + θ₁x

因此，还需要在数据集x的坐标统一加上1，相当于x₀=1

m = length(y); % store the number of training examples
x = [ones(m, 1), x]; % Add a column of ones to x

增加了这一列以后，要特别注意，现在年龄这一变量已经移动到了第二列上。

step2：线性回归

先来回忆一下我们的计算模型：

批量梯度下降（注意不是online梯度下降）的规则是：

题目要求：

1、使用步长为0.07的学习率来进行梯度下降。权重向量θ={θ₀,θ₁}初始化为0。计算一次迭代后的权重向量θ的值。

首先初始化权重向量theta

>> theta=zeros(1,2)
theta =     0     0

计算迭代一次时的权重向量：

delta=(x*theta')-y;
sum=delta'*x;
delta_theta=sum*0.07/m;
theta1=theta - delta_theta;

求得的theta1的结果为：

theta1 =    0.0745    0.3800

 

2、迭代进行gradient descent，直到收敛到一个点上。

测试代码（每100步输出一条theta直线，直到迭代结束）：

function [ result ] = gradientDescent( x,y,alpha,accuracy )
%GRADIENTDESCENT Summary of this function goes here
%   Detailed explanation goes here
orgX=x;
plot(orgX, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')
m=length(y);
x=[ones(m,1),x];
theta = zeros(1,2);
hold on;
times = 0;
while(1)
    times = times + 1;
    delta=(x*theta')-y;
    sum=delta'*x;
    delta_theta=sum*alpha/m;
    theta1=theta - delta_theta;
    if(all(abs(theta1(:) - theta(:)) < accuracy))
        result = theta;
        break;
    end
    theta = theta1;
    if(mod(times,100) == 0)
        plot(x(:,2), x*theta', '-','color',[(mod(times/100,256))/256 128/256 2/256]); % remember that x is now a matrix with 2 columns
        % and the second column contains the time info
        legend('Training data', 'Linear regression');
    end
end
    
end

效果如下：

可以看到，theta所确定的直线慢慢逼近数据集。

洁净版的代码（只输出最终的theta结果，不输出中间步骤）：

function [ result ] = gradientDescent( x,y,alpha,accuracy )
%GRADIENTDESCENT Summary of this function goes here
%   Detailed explanation goes here
orgX=x;
plot(orgX, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')
m=length(y);
x=[ones(m,1),x];
theta = zeros(1,2);
hold on;
while(1)
    delta=(x*theta')-y;
    sum=delta'*x;
    delta_theta=sum*alpha/m;
    theta1=theta - delta_theta;
    if(all(abs(theta1(:) - theta(:)) < accuracy))
        result = theta;
        plot(x(:,2), x*theta', '-','color',[200/256 128/256 2/256]); % remember that x is now a matrix with 2 columns
        % and the second column contains the time info
        legend('Training data', 'Linear regression');
        break;
    end
    theta = theta1;
end
    
end

结果：

执行代码

result=gradientDescent(x,y,0.07,0.00000001)

其中0.07为步长（即学习率），0.00000001为两个浮点矩阵的相近程度（即在这个程度内，视为这两个浮点矩阵相等）

收敛时的theta值为：

theta =    0.7502    0.0639

 

3、现在，我们已经训练出了权重向量theta的值，我们可以用它来预测一下别的数据。

predict the height for a two boys of age 3.5 and age 7

代码如下：

>> boys=[3.5;7];
>> boys=[ones(2,1),boys];
>> heights=boys*theta';

执行结果：

heights =

    0.9737
    1.1973

 

4、理解J(θ)

 

J(θ)是与权重向量相关的cost function。权重向量的选取，会影响cost的大小。我们希望cost可以尽量小，这样相当于寻找cost function的最小值。查找一个函数的最小值有一个简单的方法，就是对该函数求导（假设该函数可导），然后取导数为0时的点，该点即为函数的最小值（也可能是极小值）。梯度下降就是对J(θ)求偏导后，一步一步逼近导数为0的点的方法。

因为我们在此练习中使用的θ向量只有两个维度，因此可以使用matlab的plot函数进行可视化。在一般的应用中，θ向量的维度很高，会形成超平面，因此无法简单的用plot的方法进行可视化。

代码：

function [] = showJTheta( x,y )
%SHOW Summary of this function goes here
%   Detailed explanation goes here
J_vals = zeros(100, 100);   % initialize Jvals to 100x100 matrix of 0's
theta0_vals = linspace(-3, 3, 100);
theta1_vals = linspace(-1, 1, 100);
for i = 1:length(theta0_vals)
      for j = 1:length(theta1_vals)
      t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];
      J_vals(i,j) = sum(sum((x*t - y).^2,2),1)/(2*length(y));
    end
end

% Plot the surface plot
% Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to 
% transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped
J_vals = J_vals'
figure;
surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals);
axis([-3, 3, -1, 1,0,40]);
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')

end

执行：

x=load('ex2x.dat');
y=load('ex2y.dat');
x=[ones(length(y),1),x];
showJTheta(x,y);

结果

加上等高线的绘制语句

figure;
% Plot the cost function with 15 contours spaced logarithmically
% between 0.01 and 100
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15));
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');

效果