几种重要的概率分布（上）

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 几种重要的概率分布有：

二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正太分布。

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一、贝努里概型和二项分布

1、贝努里概型

        在相同条件下进行的n此重复试验，如果每次试验只有两个相对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概率不变，那么称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。

如：   掷n次硬币（正面or反面）

        投n次篮球（中or不中）

        检查n个产品（合格or不合格）

        设事件A在每次试验中发生的概率为p，（0<p<1），则它在贝努里概型下恰好发生m次的概率为

其中m=0,1,2，……，n；q=1-p

证明：由多个事件相互独立的概念可知，事件A在n次试验中指定的m次发生而n-m次不发生的概率为p^mq^n-m，又因为从n次试验中取出m次的方式有C_n^m种，因此得证。

2、二项分布

定义    如果随机变量X的概率分布为

其中0<p<1, q=1-p, i=0,1,2,...,n，则称离散型随机变量X服从参数为n, p的二项分布。记为X~B(n,p）。

二项分布的数学期望E(X)=np，方差D(X)=npq。

下图是一个n=20，p=0.125的二项分布示意图：

 二、泊松分布

定义    设变量X所有可能的取值为0,1,2,....，且概率分布为

并且i=0,1,2,....;λ是常数，且λ>0。则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)。

二项分布与泊松分布的关系

（泊松定理）

        设随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n→+∞时，X近似地服从泊松分布P(λ)，即

其中，λ=np。

【PS：只有当p的值很小，一般小于0.1时，用泊松分布取代二项分布所产生的误差才会比较小】

泊松分布的数学期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。

下图展示了一个泊松分布和二项分布的对比：

再看看p<0.1时候的情况

两者就比较接近了。