离散卷积与自相关----------信号处理系列[原创]
一、 定义
离散信号f(n),g(n)的定义如下：
N-----为信号f(n)的长度
s(n)----为卷积结果序列,长度为len(f(n))+len(g(n))-1
例：
f(n) = [1 2 3]; g(n) = [2 3 1];
s(0) = f(0)g(0-0) + f(1)g(0-1)+f(2)g(0-2)
= 1*2 + 2*0 + 3*0 =2
s(1) = f(0)g(1-0) + f(1)g(1-1) + f(2)g(1-2)
= 1*3 + 2*2 + 3*0 = 7
s(2) = f(0)g(2-0) + f(1)g(2-1) + f(2)g(2-2)
=1*1 + 2*3 + 3*2=13
s(3) = f(0)g(3-0) + f(1)g(3-1) + f(2)g(3-2)
=1*0 + 2*1 + 3*3=11
s(4) = f(0)g(4-0) + f(1)g(4-1) + f(2)g(4-2)
=1*0 + 2*0 + 3*1=3
最终结果为:
s(n) = [2 7 13 11 3]
上述计算图示如下：
在数学里我们知道f(-x)的图像是f(x)对y轴的反转
g(-m)就是把g(m)的序列反转，g(n-m)的意义是把g(-m)平移的n点：
如上图g(m)在信号处理中通常叫做滤波器或掩码，卷积相当于掩码g(m)反转后在信号f(n)上平移求和。Matlab计算卷积的函数为conv,
>> A = [1 2 3];
B = [2,3,1];
convD = conv(A,B)
convD =
2 7 13 11 3
相应的二维卷积定义如下：
二、 离散自相关
有了卷积的概念相关的定义跟卷积相似，离散信息f(n)的自相关用下式定义
R(n) = f(n)*f(-n);
容易看出自相关函数有如下性质：
- R(n)=R(-n);
- n=0时，R(0)为信号的能量
3.R(0)为自相关函数的最大值
三、 卷积应用
图像的边缘检测，我们先看一个掩码Sobel算子，分小平方向(x轴)和垂直方向(y轴)两种：
一、 卷积应用
图像的边缘检测，我们先看一个掩码Sobel算子，分小平方向(x轴)和垂直方向(y轴)两种：
f(n,m)跟Gx卷积结果是什么呢？f(n,m)*Gx=?
Code:
