DTOJ 5214 第一题

题意

给出一个树上点集，树上的每个点可以锁定与解锁。

每次更新对所有未锁定的点有效，把所有相连的点加入点集。

动态询问每个点是否在点集内。

范围：\(n,q\leq5\times 10^5\)

分析

暴力做法对于每次更新遍历所有点，效率\(O(n^2)\)。该做法同样适用于图，引导我们利用树的特殊性质优化算法。

点集的扩散具有方向性，每次更新的点逐渐向外推移，相应地，中间部分应避免重复更新。对于有根树而言，其深浅相当于人为定义的方向性。

在两个方向上分别考虑，发现向上走更新单点，可以打标记处理；向下走更新多点，应当避免无用操作。

• 上传时，为保证单点复杂度\(O(1)\)，不能遍历所有儿子。维护\(cnt[u]\)数组为\(u\)的儿子中被感染且未锁定点的数目，则 $u未被锁定 &&cnt[u]>0 $ 时，u会被其子节点更新。

• 标记下传操作的主要瓶颈在于“锁定点”及其子树不会被更新，但在解锁后又要单独考虑。因此，可以以每个点的所有儿子作为初始的更新集合，在下传时清空集合，在儿子被解封时再将其放入集合中。

具体实现时需要数组\(\mathtt{cnt[1\dots n]}\)，可能会被向上更新的所有点\(\mathtt{updf}\)，可能会被向上更新的所有点\(\mathtt{upds}\)，以及\(n\)个集合\(\mathtt{down[1\dots n]}\)即上述“更新集合”。此处“集合”可重且无序，用\(\mathtt{vector}\)实现。

复杂度

• 每个点仅可能被向上更新一次。

• 每次下传遍历所有边，共\(n-1\)条；解封再次放入集合最多\(q\)次

• \(\mathtt{updf}\)与\(\mathtt{upds}\)最多只会被加入元素\(q\)次。

综上所述，总复杂度为\(O(n+q)\)。