整除分块学习笔记

对于重复计算\({\biggl\lfloor\frac{k}{n}\biggr\rfloor}\)的问题，由于结果具有单调性，并且相同数字重复，可以划分阶段，化简计算。

例：计算

\[\sum_{i=1}^{n}k\mod i \]

可化为

\[nk-\sum_{i=1}^{n}i{\biggl\lfloor\frac{k}{i}\biggr\rfloor} \]

考虑性质（核心。可以死记硬背

\[{\biggl\lfloor\frac{k}{{\bigl\lfloor\frac{k}{{\bigl\lfloor\frac{k}{i}\bigr\rfloor}}\bigr\rfloor}}\biggr\rfloor}={\biggl\lfloor\frac{k}{i}\biggr\rfloor} \]

令$$ {{\biggl\lfloor\frac{k}{{\bigl\lfloor\frac{k}{i}\bigr\rfloor}}\biggr\rfloor}}=g(i)$$则每次可以计算

\[i\sum_{j=g(i-1)+1}^{g(i)}j \]

使用等差数列求和公式即可。

（未完待续）