[NOIP2013TG] 洛谷 P1966 火柴排队

题意

给定2个等长序列a、b，要求通过交换使

\[\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2 \]

最小。

分析

看着这个式子，我突然想到了方差。很明显，方差反应数据的波动程度，所以让数据集中就可以使方差变小了。而对应到这个公式，大方向就是让这两个数据尽可能接近。很容易想到分别排序，\(a_i,b_i\)就是对应数了（自己取的名字）。

这怎么证明呢？因为这个公式中带有平方，这会增加极限值对结果的贡献，所以要尽可能缩小最大差值（这也是方差教给我们的w）

那么要让a、b两个序列中的数对应，就要将a与b中的数建立一一对应的映射关系。这样，其中一个序列会作为排序的判定条件（也可以理解为判定大小的标准），而另一个序列就是要交换的序列了。这一过程其实就是离散化。

排序与求逆序对复杂度都是\(O(nlog_2n)\)，10w可过。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=100005,mod=99999997;
int n,m;
int p[MAXN],arr[MAXN],ans;
struct match{
	int value,order;
}a[MAXN],b[MAXN];

bool comp(match m1,match m2)
{
	return m1.value<m2.value;
}

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void add(int x,int num)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        arr[i]+=num;
    return;
}

int sum(int x)
{
    int temp=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        temp+=arr[i];
    return temp;
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i].value,a[i].order=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>b[i].value,b[i].order=i;
	//order记录顺序 
	sort(a+1,a+1+n,comp);
	sort(b+1,b+1+n,comp);
	//排序后就将两个序列建立对应关系了 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		p[b[i].order]=a[i].order;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(p[i],1),ans=(ans+i-sum(p[i]))%mod;
	//树状数组求逆序对 
	cout<<ans;
	return 0;
}